Jednostavni matematicki problemi.

[Olosh]

Sto se ameba tice,

da probamo jednostavno;

Sansa da jedna ameba izumre: 0.25 (25 %)

Sansa da dve amebe izumru u sledecoj generaciji: 0.25 x 0.25 (6.25 %)

Itd...

sansa da N ameba izumre u jednoj generaciji: 0.25 ^N

 

[Göbekli Tepe]

Nekako mi ove amebe i dalje ne daju mira. 

 

Da li sam u pravu ako kažem da je očekivani broj ameba u koloniji u n-toj generaciji N= 1.25ⁿ? ( ovu jednu, prvu, pramajku amebu označimo kao nulta generacija )

If yes then

Da li verovatnoću da će soj izumreti nakon tačno  n generacija mogu predstaviti kao p(n) = (1/4)^N gde je N očekivani broj ameba u n-toj generaciji.

If yes then

Da li verovatnoću da će soj izumreti nekad u budućnosti, mogu predstaviti kao beskonačni zbir pojedinačnih verovatnoća p(n)

if yes then

 

imamo beskonačnu  sumu gde n ide od 0 do beskonačno (1/4)^{1.25 podignuto na n-t stepen} .

 

Ako mi je rezonovanje ispravno, ova suma bi trebalo da konvergira. Ako neko ume ( ja ne 😞 ) da izračuna čemu tačno konvergira...to bi trebalo da je to.

 

E sad ono ključno pitanje...gde grešim 😄 

[stefan81888]

Gde grešim ja u svom, moooožda, out of box rešenju? 😄

 

Ameba može da nema potomstvo, za šta je verovatnoća 0.25. (1)

Ameba može da ima 1 potomka, za šta je verovatnoća 0.25, međutim, pošto se amebe razmnožavaju prostom deobom, ovo je zapravo slučaj (1)- ameba nije ostavila potomstvo i ona izumire.

Ameba ostavlja potomstvo samo ako ima 2 potomka, po tekstu zadatka, što jeste prosta deoba, i za ovo je šansa 0.5.

 

Tako da se šansa da izumre zapravo dobija sabiranjem prva 2 slučaja- 0.25 + 0.25 = 0.5.

 

Koliko sam daleko? 😄

[Göbekli Tepe]

Naleteh sinoć na YT  na jedan zanimljiv problem. Zgodan za razmišljanje i diskusiju. Kasnije u toku dana, ili eventualno sutra ću postaviti taj klip u kom je sve natenane objašnjeno.

 

Miš, bežeći od mačke upadne u bazen. Bazen je kružnog oblika. Mačka ne žali da okvasi šape tako da juri oko bazena pokušavajući da uhvati miša u momentu dok izlazi iz istog. Miš naravno pliva po bazenu i pokušava da izađe iz bazena u momentu dok je mačka nije tu, na mestu gde izlazi. Mačka hoda/trči  tačno 4 puta brže nego što miš pliva. Da li miš može da pobegne i ako može, koja mu je optimalna strategija za bekstvo.

 

Naravno, bitni su početni uslovi to jest početni položaj, pa ćemo uslovno uzeti da miš kreće iz samog centra bazena u kom slučaju položaj mačke nije bitan. U suštini, gde god da se nalazi, miš može doplivati do sredine pa je to to...

 

Smatra se da je miš pobegao ako prilikom izlaska "ne upadne mački u usta", odnosno ako se na tački izlaska ne nalazi mačka.

 

[freethrow]

Čistim pravolinijskim plivanjem od centra do ivice bazena, mišu treba r/V sekundi, a mački da istrči polovinu obima rPI/4V što je uvek brže od miša, tako da od pravolinijskog plivanja iz centra nema ništa. Treba da bude malo bliži miš obali, udaljen od centra, a mačka istovremeno na suprotnoj ivici bazena da bi stigao. E sad tu ima verovatno neko spiralno plivanje, da se miš postepeno "izvuče" van tog radijusa koji obezbeđuje da mu vreme pravolinijskog plivanja traje manje od mačkinog trka po polovini obima rPI. Infinitezimalno malo pomeranje miša u jednom pravcu ne može da isprati mačka koja juri po obodu: miš se pomeri V*x u jednom pravcu, a mačka treba da pređe rPI... 

 

edit: mislim da sam rešio.

 

Prvo određujem najveći krug sa centrom koji se poklapa sa centrom bazena po kojem miš može da pliva i da pri tome ima ugaonu brzinu jednaku ugaonoj brzini mačke. Kako je mačka 4 puta brža, ovaj krug ima 4 puta manji poluprečnik od prečnika bazena: R/4. Dakle za minimalno manji, infinitezimalno manji poluprečnik kruga, miš uvek ima malo veću ugaonu brzinu od mačke i onda smatramo da može da postigne položaj na suprotnoj strani, posle dovoljnog broja obrtaja (što veće "bežanje" od tačnog radijusa R/4 na unutra, to manji broj krugova). 

 

Tada imamo poziciju u kojoj mačka treba da pređe ceo poluobim R x PI brzinom 4V, a miš treba da pređe 3/4 x R brzinom V. Prvo od navedenih vremena je:

t1 = RxPI / 4V 

a drugo:

t2 = 3xR / 4V

 

kako je 3 malo manje od PI (3,14...), t2 je uvek manje od t1, što znači da miš uspeva da pobegne, ali dosta knap. Zapravo, ima tu razliku između 3 i PI koju može da optimizuje da "smanji" period kruženja po maloj kružnici. Ne mora da pliva uopšte spiralno, može pravolinijski do četvrtine prečnika, malo manje, a onda čista rotacija do postizanja "opozicije" sa mačkom. Ipak, ukoliko bi se problem optimizovao - tipa da miš pobegne za najmanje moguće vreme iz bazena - onda bi to mogla da bude spirala do kružnice R/4.

 

Edited June 27, 2019 by freethrow

[Göbekli Tepe]

Manje više si lepo to izložio...

 

 

[Smrtokapa]

Ova tema je mrtva već duže od četiri godine, koliko vidim, a danas sam naleteo na jedan zanimljiv video, pa reko' da probam jednu nekromantiju.

 

 

[bohumilo]

Dobro, budući da je u zadatku prošvercovana subdeterminisana fizikalnost("kotrljanje" krugova po krugovima), nije iznenađenje da se otvara pitanje šta je tu referentni sistem, šta je "geometrija problema", na koju tačno rotaciju/"kotrlj" se misli (šta je fiksna tačka?) - odnosno KO glasa "kotrlja" a KO broji glasove obrtaje?

 

Ako ih broji osoba koja kotrlja mali krug krećući se po velikom krugu - dakle, držeći VELIKI KRUG kao referentni sistem - ona će izborajati 3 rotacije; to ste vi kada pokušavate da izbrojite rotacije točka na vašem biciklu. 

 

Ako ih broji osoba koja drži fiksiran PAPIR na kojem se sve ovo dešava - dok, na primer, šta znam...radi test iz matematike - ona će izbrojati 4 rotacije. Onaj ko drži Sunčev sistem fiksiran će izborajti malo više rotacija točka od bicikla nego vi, a ako napravite pun krug biciklom oko Zemlje izbrojaće tačno za jedan više. Kad igrate kolo na svadbi, lice vam je uvek okrenuto ka harmonikašu u centru kola (za njega ne rotirate oko svoje ose), međutim ako mlada sedi sa spoljašnje strane od kola vi kako idete unaokolo njoj okrećete lice, pa desnu stranu, pa leđa, pa levu stranu, pa opet lice - što se nje tiče vi ste se rotirali! E sad, ako je neko kolo u kome ima jedna tačka gde igrači puste ruke i okrenu se najednom oko svoje ose, tada vam je harmonikaš jednom video leđa (za njega jedna vaša rotacija), a mlada 2 puta - za nju ste napravili 2 rotacije za jedan krug kola.

 

Ako vam je Sunčev sistem i dalje referentan, ali pustite Zemlju da se vrti oko svoje ose - i pride zadatak se radi na tabli, koja stoji uspravno tačno na ekvatoru, da se sve lepo vidi, i kotrlja se polako, ceo dan - izbrojaćete 5 rotacija: 3 oko centra malog kruga, 1 oko centra velikog kruga i jedan oko centra Zemlje. Ako kotrljanje rastegnete na godinu dana, dobićete 370 rotacija - 3+1+365+1(oko centara: malog kruga+velikog kruga+Zemlje+Sunca) itd, isl...

 

Debata oko toga šta je od ovoga PRAVI odgovor je debata oko značenja reči, koja je uvek dosadna i neproduktivna, značenje reči je konvencija (po meni reč "kotrljanje", kako ja razumem njeno značenje, implicira da je referentni sistem "površina po kojoj se kotrlja" (a ne Sunčev sistem) - tj. da je odgovor 3 kotrlja!). Ono što je mnogo interesantnije jeste činjenica da sam fizički prostor u kome obitavamo, dakle neka ultimativna (?) referentna tačka u ovom smislu, ne izgleda ravno kao (3D) list papira, nego ima pozitivnu zakrivljenost. To znači da kada telo ide "pravo" kroz prostor ("čista" translacija) ono takođe rotira, kao što kada ide "pravo" po Zemljinoj kori (2D sferi) ujedno i rotira oko njenog centra - samo što u prostoru kao da ide po 3D sferi. Trouglovi u realnom prostoru, kao i po Zemljinoj kori imaju zbir uglova VEĆI od 180 - ultimativno mogu imati 270 stepeni, sva 3 ugla prava...

[Kronostime]

[Smrtokapa]

On 12/4/2023 at 1:17 PM, bohumilo said:

Ako ih broji osoba koja drži fiksiran PAPIR na kojem se sve ovo dešava - dok, na primer, šta znam...radi test iz matematike - ona će izbrojati 4 rotacije.

Pa rekao bih da je ovde negde i ključ za posmatranje zadatka - ukoliko nije naglašeno drugačije, logično je da osoba koja radi test iz matematike posmatra zadatak iz perspektive osobe koja radi test iz matematike jelte još su joj krugovi nacrtani na papiru, znači ima vizuelni prikaz odakle treba da ih posmatra.

 

On 12/4/2023 at 1:17 PM, bohumilo said:

Debata oko toga šta je od ovoga PRAVI odgovor je debata oko značenja reči, koja je uvek dosadna i neproduktivna,

Morao sam da precrtam U pravu si (makar delom) za ovo prvo, ali da bi se došlo do jednoznačnog odgovora, potrebno je zadatak jezički definisati tako da ne bude dvosmislenosti.

 

Ako se želi odgovor 3, onda treba napisati nešto tipa "koliko puta će tačka prvog geometrijskog oblika koja je na početku u kontaktu sa drugim geometrijskim oblikom biti u kontaktu sa drugim geometrijskim oblikom pre nego što ponovo dođe u kontakt sa tačkom sa kojim je u startu bila u kontaktu, računajući prvi/poslednji kontakt samo jednom?" (ala sam ga rogobatno sročio), što bi u analogiji sa Zemljom i Suncem bilo "koliko će puta u toku prosečne godine Sunce biti u zenitu?" Opet, da bi se znalo po kom principu se kontakti dešavaju, moraju se ubaciti i kotrljanja/rotacije u postavku, čime se, kao što kažeš, ubacuje subdetermisana fizikalnost. Samim tim posmatrač sa površine kojom se kotrlja mora biti svestan da ne postoje samo tačke koje se pojavljuju u kontaktu sa njom, već da postoji i geometrijski oblik kome tačke pripadaju i koji se kreće.

 

U postavci ovog zadatka se ne traže zeniti, već rotacije (u stvari oni su tražili revolucije što unosi dodatnu zbrku, ali ajde da kažemo rotacije). Ako bi površina kojom se kotrlja bila poligon umesto kruga, recimo kvadrat, onda bi, uz brojanja kontakata zadate tačke, posmatrač video da, prilikom prolaska svakog pravog ugla, oblik koji se kreće rotira za 90 stepeni iako pritom ne menja tačku kontakta, te da za ceo put postoji još jedna dodatna rotacija. Slično važi i ako se povećava broj strana poligona, sve dok se ne dođe do kruga koji bi bio poligon sa beskonačno mnogo infinitizemalno malih strana - i tu bi posmatrač bio "dužan" da shvati da postoji još jedna rotacija iako je on zbog infinitizemalnosti ne primećuje.

 

Rešavači zadatka bi možda intuitivno lakše razumeli šta se događa da se nije govorilo o krugovima nego o zupčanicima, taman da se potcrta da je kotrljanje bez klizanja. Ako bi npr. bila dva zupčanika iste veličine, odmah bi bilo intuitivno jasno da bi za ponovni susret dve tačke bilo potrebno da se oba zupčanika okrenu po jedanput, te da tu ukupno postoje dve rotacije, a ne jedna. Onda bi sledilo i da, kada se jedan zupčanik fiksira, ta dodatna rotacija ne može da nestane, već se mora prebaciti na drugi zupčanik.

 

[bohumilo]

On 12/5/2023 at 8:50 PM, Smrtokapa said:

Ako se želi odgovor 3, onda treba napisati nešto tipa "koliko puta će tačka prvog geometrijskog oblika koja je na početku u kontaktu sa drugim geometrijskim oblikom biti u kontaktu sa drugim geometrijskim oblikom pre nego što ponovo dođe u kontakt sa tačkom sa kojim je u startu bila u kontaktu, računajući prvi/poslednji kontakt samo jednom?"

 

AKA "kotrlj(anje)". Roll. "Kolut napred". Oni impliciraju da je referentni sistem (brojač) objekat koji se kotrlja. Mali krug treba da se "otkorlja" 3 puta, da "napravi" 3 koluta unapred da bi došao na mesto odakle je krenuo.

 

Ako se "revolucija" definiše, recimo, kao "koliko puta će proizvoljna tačka malog kruga proći tačno severno od njenog centra" - onda će to biti 4. Naravno, "severno" u pravcu gornje ivice papira, itd...

 

Čak ni termin "rotacija" tu nije najsrećniji. Rotacija treba da ima neku fiksnu tačku (oko koje se nešto rotira) i treba da ima ugao (za koji se rotira). Ovde postoji rotacija malog kruga (kao rigidne slike) oko centra velikog kruga - od 360°; i postoji rotacija tačaka na maloj kružnici oko centra malog kruga - 3 rotacije od 360°, ali to su različiti "matematički objekti".

 

Zapravo, ako ćemo da budemo do kraja precizni, u čistoj/klot matematici ne postoji koncept "3 rotacije od 360°" - to je koncept iz fizike, iz fizičkog sveta, on pretpostavlja istoriju, vreme, kretanje, nekoga ko broji, nekoga ko gleda ODNEKLE itd. U matematici ne postoji vreme, ne postoji prošlost/istorija i budućnost, ne postoji kretanje, kotrljanje, migoljenje, okretanje, ubrzavanje, usporavanje itd. Tamo postoje samo funkcije i skupovi - a ultimativno samo skupovi, jer su i funkcije skupovi. U geometeiji ravni postoje funkcije koje slikaji ravan na samu sebe - transformacije, od kojih je jedna i rotacija, ultimativno definisana preko skupova. 

 

Zato je ponekad i teško precizno opisati ovakve zadatke koji sadrže u sebi predstave fizičkih procesa. Ako je neko radio ili se igrao sa "proof assistant"-ima/programima za formalno dokazivanje teorema (ili korektnosti softvera, što je ista stvar) - tipa jezika Isabelle, Coq, Lean i sličnih - zna da je to čak i u matematici klizav teren, i da je potreban rudarski rad da bi se korektno zadali i najelementarniji problemi - jer s kompjuterom nemaš kud, tu nema mahanja rukama i podrazumevanja...

[woolgatherer]

[woolgatherer]

svaka slicnost sa stvarnim ljudima i dogadjajima je potpuno slucajna

 

jednog prijatnog zimskog dana freethrow pokaza bohumilu, smrtokapi i gobekli tepeu 3 (neprazne) vrece sa nasumicno raspodeljenim zlatnicima i rece: - evo vam ovaj 221 zlatnik i nek vam je sa srecom
svako uze po vrecu pa posto krisom izbrojase svoje zlatnike pocese da komentarisu

 

1. smrtokapa zadovoljno rece: 
- hm, interesantno, svako od nas je dobio razlicit broj zlatnika

 

2. bohumilo dodade: 
- jos je interesantnije to sto ja sad znam tacno koliko je ko dobio
 
3. gobekli tepe proskrguta zubima pa zakljuci: 
- znam i ja sad naravno koliko ko ima, trpaj magare dok mu noge u blato, jedina uteha koju sad imam je da su mi neparni brojevi
uvek donosili srecu

 

koliko je ko dobio zlatnika?

[Div]

2 minutes ago, Smrtokapa said:

Ja ne znam zašto sam zadovoljan ako su mi dopala pišljiva dva zlatnika.

Što 2, zar nije 112. Ako imaš 2 otkud znaš da još neko nema 2?

 

[Smrtokapa]

Rekao bih da je raspodela:

 

Spoiler

112 / 108 / 1

 

Ako S zna da svi imaju različit broj zlatnika, to znači da je 1. njegov broj paran 2. da je veći od polovine sume, inače bi bilo moguće da jedan od preostale dvojice ima isto toliko.

Pošto je S to izgovorio, B zna da S ima paran broj koji je minimum 112, a ako je iz toga odmah zaključio tačnu raspodelu, on mora imati ili 107 ili 108, jer bi sa manjim brojem postojalo više mogućnosti (npr. ako B ima 106, to bi značilo da se S i G mogu raspodeliti sa 112/3, ali i sa 114/1).

Pošto se G izjasnio kao posednik neparnog broja zlatnika, ostaje samo jedna moguća raspodela.

 

Edit: @Div ladno si uvatio tih deset sekundi dok mi je tastatura bila brža od pameti, pre nego što sam hajdovao post.

Edited February 8 by Smrtokapa

[Div]

1 hour ago, Smrtokapa said:

Edit: @Div ladno si uvatio tih deset sekundi dok mi je tastatura bila brža od pameti, pre nego što sam hajdovao post.

 

 

Požurio sam da te bohumilo i Göbekli Tepe ne prevare i uzmu tvoj deo. 

[woolgatherer]

zato sto su takvi ljudi, lafcine i drugarcine, novopeceni bogatasi smrtokapa, bohumilo i gobekli pozvase forumase na rostilj
meso je bilo izvanredno pa svi cevapi behu pojedeni

 

- najprozdrljiviji forumas je pojeo jednu cetvrtinu broja cevapa koje su pojeli ostali forumasi
- treci najprozdrljiviji je pojeo jednu devetinu broja cevapa koje su pojeli ostali forumasi
- najmanje prozdrljivi je pojeo jednu desetinu broja cevapa koje su pojeli ostali forumasi

 

koliko forumasa je bilo na rostilju?

[Div]

2 hours ago, woolgatherer said:

koliko forumasa je bilo na rostilju?

 

9?

 

22- najproždrljiviji

12

11 - treći

11

11

11

11

11

10 - najmanje proždrljiv

 

Treće mesto dele šestoro ako propozicije dozvoljavaju.

 

 

Edited February 9 by Div

[woolgatherer]

nisam proveravao koliko je ko pojeo ali jeste 9 

moracu nesto malo teze da ti nadjem, nesto sto ce ti uzeti vremena bar kao za dvocifren broj cevapa 

[bohumilo]

Ukupan broj ćevapa i njihova tačna raspodela je subdeterminisana ovom postavkom. Ako se dozvoli da ljudi budu proizvoljno gladni mogu se napakovati različiti aranžmani (npr. 220(upola s lukom)-135-110-109-108-107-106-105-100, ako sam ja ovo dobro pobrojao), a ako se dozvoli da ćevapi budu proizvoljno deljivi, može se koristiti i proizvoljan broj ćevapa...

 

Jedino što je nužno je ono što se i traži - broj ljudi koji dele je mora biti 9. Ovo je bilo dosta zanimljivo, zato što sam razmišljajući o tome gde je srž ovog problema (naročito u opštijoj formi, uzimajući realne brojeve/ćevape proizvoljno deljive), šta ga tačno ograničava na 9 jedača, došao do koncepta "deljivosti broja skupom brojeva". Npr, "da li je broj 56 deljiv bilo kojom kombinacijom (realnih) brojeva između 10 i 11", tj. da li postoji neki način da se sabere nekoliko (različitih, u opštem slučaju) brojeva, svi veći od 10 a manji od 11 (uključujući i njih), i da se dobije 56. Zapravo, trebao mi je odgovor koji brojevi između 45 i 56 imaju ovo svojstvo - a to su svi realni brojevi između 50 i 55, i za svaki je delilac (u smislu iznad) 5 - ja sam ODATLE došao do cifre od 5 jedača između trećeg i poslednjeg jedača.

Edited February 9 by bohumilo

[Kronostime]

Izgleda da ovde samo @Göbekli Tepe jede cevape.

[woolgatherer]

@bohumilo

da, nebitan je ukupan broj cevapa C

prvi, treci i poslednji jedu C/5, C/10, C/11 cevapa, gde je C ukupan broj cevapa

a to su i gornje i donje granice za 2, 4, 5, ... , pretposlednjeg
pa se lako dobije da 8.1 < n < 9.4

 

 

nego da vidimo sta se desilo na kraju rostilja

- kod vas osmoro svako ima razlicit prost broj godina, a prosecna starost vam je ceo broj - primeti Div, pozdravi se svima
i ode
- hej, pa ovo sto je Div primetio je tacno - rece Djole i ode
- hej, pa ovo i dalje vazi za nas sedmoro - rece Jurgen i ode
- hej, pa ovo i dalje vazi za nas sestoro - rece Baby i ode
- hej, pa ovo i dalje vazi za nas petoricu - rece Djole i ode
- hej, pa ovo i dalje vazi za nas cetvoricu - rece Gobekli i ode
- hej, pa ovo i dalje vazi za nas trojicu - rece bohumilo i ode
- hej, pa ovo i dalje vazi za nas dvojicu - rece Smrtokapa i ode
- hej, pa pocetna suma godina nas osmoro je zapravo i minimalna suma osmoro ljudi koja zadovoljava sve ovo - primeti Kronos, slavodobitno izvadi pivo i jos cevapa iz frizidera pa ponovo raspali rostilj

 

koliko godina imaju njih osmoro?

[Malkolm Brogdon]

Evo jednog malo vremenski zahtevnijeg matematickog problema, mada ne moze da se nazove problem, vise je prosta racunica.

 

Lucky 6, verovatno su se neki od vas susretali sa tom igrom. U pitanju je igra po kladionicama gde se od 48 brojeva izvlaci 35. Igraci igraju 6 brojeva, i u zavisnosti od toga gde izadje poslednji broj iz njihove kombinacije (ako izadje) dobijaju nazad ulog * kvota. Ovako izgledaju kvote u Mocartu na primer (tu su najpovoljnije):



Tri deteline predstavljaju bonus polja, ako se u dobitnoj kombinaciji jedan broj nadje na detelini, dobitak je x2, ako se 2 broja nadju x3, ako se 3 broja nadju x4.

 

Zadatak: izracunati ocekivanu vrednost (EV) ove igre. Moze i bez bonus polja, posto je jednostavnije, za bonus polja se dobijaju bonus poeni, hehe.

 

Ako nisam dao dovoljno informacija pisite ovde pa cu da dodam.