Jump to content

Jednostavni matematicki problemi.


Recommended Posts

Sto se ameba tice,

da probamo jednostavno;

Sansa da jedna ameba izumre: 0.25 (25 %)

Sansa da dve amebe izumru u sledecoj generaciji: 0.25 x 0.25 (6.25 %)

Itd...

sansa da N ameba izumre u jednoj generaciji: 0.25 ^N

 

Link to post
Share on other sites

Nekako mi ove amebe i dalje ne daju mira. 

 

Da li sam u pravu ako kažem da je očekivani broj ameba u koloniji u n-toj generaciji N= 1.25n? ( ovu jednu, prvu, pramajku amebu označimo kao nulta generacija )

If yes then

Da li verovatnoću da će soj izumreti nakon tačno  n generacija mogu predstaviti kao p(n) = (1/4)N gde je N očekivani broj ameba u n-toj generaciji.

If yes then

Da li verovatnoću da će soj izumreti nekad u budućnosti, mogu predstaviti kao beskonačni zbir pojedinačnih verovatnoća p(n)

if yes then

 

imamo beskonačnu  sumu gde n ide od 0 do beskonačno (1/4)1.25 podignuto na n-t stepen .

 

Ako mi je rezonovanje ispravno, ova suma bi trebalo da konvergira. Ako neko ume ( ja ne 😞 ) da izračuna čemu tačno konvergira...to bi trebalo da je to.

 

E sad ono ključno pitanje...gde grešim 😄 

Link to post
Share on other sites

Gde grešim ja u svom, moooožda, out of box rešenju? 😄

 

Ameba može da nema potomstvo, za šta je verovatnoća 0.25. (1)

Ameba može da ima 1 potomka, za šta je verovatnoća 0.25, međutim, pošto se amebe razmnožavaju prostom deobom, ovo je zapravo slučaj (1)- ameba nije ostavila potomstvo i ona izumire.

Ameba ostavlja potomstvo samo ako ima 2 potomka, po tekstu zadatka, što jeste prosta deoba, i za ovo je šansa 0.5.

 

Tako da se šansa da izumre zapravo dobija sabiranjem prva 2 slučaja- 0.25 + 0.25 = 0.5.

 

Koliko sam daleko? 😄

Link to post
Share on other sites

Naleteh sinoć na YT  na jedan zanimljiv problem. Zgodan za razmišljanje i diskusiju. Kasnije u toku dana, ili eventualno sutra ću postaviti taj klip u kom je sve natenane objašnjeno.

 

Miš, bežeći od mačke upadne u bazen. Bazen je kružnog oblika. Mačka ne žali da okvasi šape tako da juri oko bazena pokušavajući da uhvati miša u momentu dok izlazi iz istog. Miš naravno pliva po bazenu i pokušava da izađe iz bazena u momentu dok je mačka nije tu, na mestu gde izlazi. Mačka hoda/trči  tačno 4 puta brže nego što miš pliva. Da li miš može da pobegne i ako može, koja mu je optimalna strategija za bekstvo.

 

Naravno, bitni su početni uslovi to jest početni položaj, pa ćemo uslovno uzeti da miš kreće iz samog centra bazena u kom slučaju položaj mačke nije bitan. U suštini, gde god da se nalazi, miš može doplivati do sredine pa je to to...

 

Smatra se da je miš pobegao ako prilikom izlaska "ne upadne mački u usta", odnosno ako se na tački izlaska ne nalazi mačka.

 

Link to post
Share on other sites

Čistim pravolinijskim plivanjem od centra do ivice bazena, mišu treba r/V sekundi, a mački da istrči polovinu obima rPI/4V što je uvek brže od miša, tako da od pravolinijskog plivanja iz centra nema ništa. Treba da bude malo bliži miš obali, udaljen od centra, a mačka istovremeno na suprotnoj ivici bazena da bi stigao. E sad tu ima verovatno neko spiralno plivanje, da se miš postepeno "izvuče" van tog radijusa koji obezbeđuje da mu vreme pravolinijskog plivanja traje manje od mačkinog trka po polovini obima rPI. Infinitezimalno malo pomeranje miša u jednom pravcu ne može da isprati mačka koja juri po obodu: miš se pomeri V*x u jednom pravcu, a mačka treba da pređe rPI... 

 

edit: mislim da sam rešio.

 

Prvo određujem najveći krug sa centrom koji se poklapa sa centrom bazena po kojem miš može da pliva i da pri tome ima ugaonu brzinu jednaku ugaonoj brzini mačke. Kako je mačka 4 puta brža, ovaj krug ima 4 puta manji poluprečnik od prečnika bazena: R/4. Dakle za minimalno manji, infinitezimalno manji poluprečnik kruga, miš uvek ima malo veću ugaonu brzinu od mačke i onda smatramo da može da postigne položaj na suprotnoj strani, posle dovoljnog broja obrtaja (što veće "bežanje" od tačnog radijusa R/4 na unutra, to manji broj krugova). 

 

Tada imamo poziciju u kojoj mačka treba da pređe ceo poluobim R x PI brzinom 4V, a miš treba da pređe 3/4 x R brzinom V. Prvo od navedenih vremena je:

t1 = RxPI / 4V 

a drugo:

t2 = 3xR / 4V

 

kako je 3 malo manje od PI (3,14...), t2 je uvek manje od t1, što znači da miš uspeva da pobegne, ali dosta knap. Zapravo, ima tu razliku između 3 i PI koju može da optimizuje da "smanji" period kruženja po maloj kružnici. Ne mora da pliva uopšte spiralno, može pravolinijski do četvrtine prečnika, malo manje, a onda čista rotacija do postizanja "opozicije" sa mačkom. Ipak, ukoliko bi se problem optimizovao - tipa da miš pobegne za najmanje moguće vreme iz bazena - onda bi to mogla da bude spirala do kružnice R/4.

 

Edited by freethrow
  • Like 2
Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Restore formatting

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

×
×
  • Create New...