Jednostavni matematicki problemi.

[Odjosh]

Problem tri vrata:

 

Troja vrata, iza jednih je objekat, iza drugih vrata nista.

Ide ovako:

Biras jedna vrata.

 

Nakon toga, host koji zna gde je objekat, otvori jedna od preostalih dvoja vrata,

da ti pokaze da je tu nista.

Host ti zatim ponudi da zamenis svoj odgovor, I odaberes vrata koja host nije pokazao.

 

Pitanje:

Da li vredi zameniti vrata da bi se pogodio objekat?

 

(+ Resenje ovog problema moze se elegantno objasniti kroz narativ, bez previse formula)

 

 

Edited June 18, 2019 by Kido from Junkovac

[Jurgen]

Vredi. Na početku je šansa 33%, a ako zameniš onda je 50%.

[Odjosh]

Otprilike, ali sansa nakon zamene nije 50 %.

Koliko je? (Za to sad mora malo mate)

 

kako se stavlja u spojler ?

Edited June 18, 2019 by Kido from Junkovac

[Jurgen]

U odnosu na početnu je onda 66%. Birao si dvoje od troje vrata. 

[Malkolm Brogdon]

Cim sam video temu cekao sam Monti Hola.

 

Uvek menjas vrata jer nisi dobio novu informaciju pa se verovatnoca da si pogodio pri prvom izboru ne menja.

 

Ako zamenis onda je sansa 67%

[Jurgen]

4 minutes ago, Kido from Junkovac said:

Otprilike, ali sansa nakon zamene nije 50 %.

Koliko je? (Za to sad mora malo mate)

 

kako se stavlja u spojler ?

Spoiler

Ovako 🙂 Klikni na ovo oko pored smajlija 

 

[Odjosh]

Tako je. Imam I formulu izvedenu za verovatnoce za N vrata.

 

 

 

Spoiler

 

Problem N vrata:

 

 

(Verovatnoca da cemo pogoditi iz prvog pokusaja) = 1 / N (Pri cemu je N broj vrata)

(Verovatnoca da cemo pogresiti iz prvog pokusaja) = (N-1) / N

 

 

Ukoliko koristimo princip zamene vrata, mozemo nakon zamene pobediti samo u onim

slucajevima kada smo inicijalno pogresili.

Svaki put kada hipoteticki inicijalno odaberemo pogresna vrata (66% slucajeva)

koriscenje prava na zamenu vrata donosi nam pogodak.(!)

Svaki put kada hipoteticki inicijalno odaberemo prava vrata (33% slucajeva)

koriscenje prava na zamenu donosi nam promasaj.

 

 

Dakle, ako je nasa sansa prvobitno bila 33% da otvorimo prava vrata, nakon koriscenja zamene

ta sansa raste na 66%.

 

 

Nasa verovatnoca umesto 1 / 3 (ili 1 / N) postaje 2 / 3 (ili (N-1)/N)

 

 

(Ovo se moze proveriti prakticno, mesanjem tri karte i biranjem nasumice.)

 

 

Dalje sam iz ovog izveo formulu po kojoj mozemo racunati verovatnocu za N vrata.

 

 

Verovatnoca ce uvek biti:

 

 

P = [(N-1) / N] x [1/(N-2)]

 

 

Edited June 18, 2019 by Kido from Junkovac

[Malkolm Brogdon]

Imao sam masu problema da objasnim Monti Hola ljudima, intuitivno je jedino ako se poveca broj vrata. 

[freethrow]

Jeste i meni je odmah pao na pamet Monti Hol, super problem za ovakve teme.

 

Jednostavno objašnjenje: https://medium.com/@NickDoesData/applying-bayes-theorem-simulating-the-monty-hall-problem-with-python-5054976d1fb5

Edited June 18, 2019 by freethrow

[Odjosh]

22 minutes ago, Malkolm Brogdon said:

Imao sam masu problema da objasnim Monti Hola ljudima, intuitivno je jedino ako se poveca broj vrata. 

Zasto ne ovako kako sam ja vec postavio u spojler:

 

Ukoliko koristimo princip zamene vrata, mozemo nakon zamene pobediti samo u onim

slucajevima kada smo inicijalno pogresili.

Svaki put kada hipoteticki inicijalno odaberemo pogresna vrata (66% slucajeva)

koriscenje prava na zamenu vrata donosi nam pogodak.(!)

Svaki put kada hipoteticki inicijalno odaberemo prava vrata (33% slucajeva)

koriscenje prava na zamenu donosi nam promasaj. 

[Malkolm Brogdon]

Kljuc je zapravo u tome da host zna gde se krije objekat, pa ti samim tim ne otkriva novu informaciju.

 

Sto znaci da ti biras jedna vrata od N vrata, a on ostalih N-1. Potom ti on pokazuje da se objekat ne nalazi iza bar N-2 vrata od onih N-1 sto su kod njega, sto nije nova informacija, jer host nije nagadjao vrata vec je znao koja da otvori.

 

U sustini, resenje je jednostavno, samo je pitanje kako to najlakse shvatiti/objasniti.

Edited June 18, 2019 by Malkolm Brogdon

[Bradzorf]

Pretpostavimo da u zemlji X ima n parova koji očekuju bebu. Verovatnoća da dobiju dečaka(m) ili devojčicu (ž) je 0.5 i 0.5.

Dakle, n/2 parova će dobiti dečaka, a n/2 devojčicu. Od ove druge polovine n/4 će dobiti dečaka, a n/4 devojčicu. U sledećoj iteraciji n/8 onih koji su dobili drugu devojčicu će dobiti dečaka, a n/8 devojčicu.

Dakle, dečaka će biti:

(n/2)+(n/4)+(n/8)+(n/16)+(n/32)+(n/64)+...

Broj devojčica je:

(n/2)+(n/4)+(n/8)+(n/16)+(n/32)+(n/64)+...

Problem se može posmatrati i na sledeći način. Broj muške i ženske dece u porodicama zemlje X može se prikazati na sledeći način:

1.m
2.zm
3.zzm
4.zzzm
5.zzzzm
6.zzzzzm
7.zzzzzzm
8.zzzzzzzm
...

Obzirom da porodica oblika (1) ima n/2, porodici oblika (2) n/4, porodica oblika (3) n/8... broj dečaka i broj devojčica je kao što je gore navedeno.

Evo jedan zanimljiv zadatak.

Seljak je krenuo na pijac i poterao najmanje hiljadu lubenica. Na pijaci je prvi nakupac otkupio polovinu lubenica i polovinu jedne, drugi nakupac je otkupio trećinu ostatka i trećinu jedne, treći nakupac je otkupio četvrtinu ostatka i četvrtinu jedne, četvrti nakupac je otkupio petinu ostatka i petinu jedne. Sve ove lubenice prodavac je prodavao(tj. nakupci kupovali) u paketima po dvanaest (celih) lubenica. Ostatak lubenica seljak je raspodelio u pakete po trinaest lubenica i tako prodao.

Koliko najmanje lubenica je seljak prodao na pijaci?

Napomena: Pretpostavimo da seljak prodaje 23 lubenice. Polovina od 23 lubenice i polovina jedne je tačno 12 lubenica.

[𝓑𝓪𝓫𝔂]

2 hours ago, Bradzorf said:

 

Obzirom da porodica oblika (1) ima n/2, porodici oblika (2) n/4, porodica oblika (3) n/8... broj dečaka i broj devojčica je kao što je gore navedeno.

Evo jedan zanimljiv zadatak.

Seljak je krenuo na pijac i poterao najmanje hiljadu lubenica. Na pijaci je prvi nakupac otkupio polovinu lubenica i polovinu jedne, drugi nakupac je otkupio trećinu ostatka i trećinu jedne, treći nakupac je otkupio četvrtinu ostatka i četvrtinu jedne, četvrti nakupac je otkupio petinu ostatka i petinu jedne. Sve ove lubenice prodavac je prodavao(tj. nakupci kupovali) u paketima po dvanaest (celih) lubenica. Ostatak lubenica seljak je raspodelio u pakete po trinaest lubenica i tako prodao.

Koliko najmanje lubenica je seljak prodao na pijaci?

Napomena: Pretpostavimo da seljak prodaje 23 lubenice. Polovina od 23 lubenice i polovina jedne je tačno 12 lubenica.

 

 

Hmm... sve?

 

[yossarian]

9 hours ago, Malkolm Brogdon said:

Kljuc je zapravo u tome da host zna gde se krije objekat, pa ti samim tim ne otkriva novu informaciju.

 

Sto znaci da ti biras jedna vrata od N vrata, a on ostalih N-1. Potom ti on pokazuje da se objekat ne nalazi iza bar N-2 vrata od onih N-1 sto su kod njega, sto nije nova informacija, jer host nije nagadjao vrata vec je znao koja da otvori.

 

U sustini, resenje je jednostavno, samo je pitanje kako to najlakse shvatiti/objasniti.

Upravo tako.

 

Što se tiče objašnjavanja -

 

Problem je mnogo jasniji ako zamisliš da ima 100 vrata.

 

Odabereš jedna vrata od 100.

 

Monti, koji zna gde je nagrada, otvori 98 od preostalih i pokaže ti da iza njih nema ništa.

 

Ostaju vrata koja si izabrao, i ona jedna jedina koja Monti nije otvorio.

Verovatnoća da je nagrada ipak iza "tvojih" vrata, da si pogodio iz prve je 1%.

 

Može i hiljadu vrata, milion, Monti tačno zna gde je nagrada i uvek će ostati samo tvoj prvi izbor i još jedna neotvorena.

 

 

Genijalnost autora tog kviza je u tome što su broj vrata smanjili na minimum (tri), pa se publika zbunjuje.   Odnos verovatnoća za dobitak nagrade kod menjanja i nemenjanja izbora najmanji, pa se i u toku kviza svašta dešava. Dovoljno često dobijaju i oni koji ne menjaju izbor.

Edited June 19, 2019 by yossarian

[Old 666]

Mi polazimo od premise da host zna gde je nagrada, što je jasno i logično. Da li bi menjalo računicu ( u slučaju sa troja vrata )  kada host hipotetički  ne bi znao gde je glavna nagrada i kada ne bi otvaranjem jednih vrata "nabo" upravo  ona gde se ta nagrada nalazi. Pretpostavljam da bi u tom slučaju bilo svejedno da li ostajemo pri svom izboru ili ga menjamo ( sa stanovišta verovatnoće )

Edited June 20, 2019 by Yi Sun Shin

[Odjosh]

Ako host okrene 'nabod' da li je to poraz za igraca? Ja bih prvo uradio test sa 3 karte...

 

Odigrao sam 15 ponavljanja sa 3 biznis karte.

Dve moje biznis karte su nista, a na trecoj sam precrtao svoje zanimanje I napisao owner. : /

 

Elem, dobio sam 4 puta iz 15, sto mi govori da verovatnoca bi ostala oko 33 %

 

 

Edited June 20, 2019 by Kido from Junkovac

[djole]

Pa recimo ako host ubode nagradu, onda je nerešeno, igra se ponovo.

 

Uglavnom, ukoliko host ne zna gde je nagrada, tu nema nikakvog benefita za takmičara u menjanju izbora.

 

1/3 šansa za auto, 1/3 za kozu, 1/3 da se igra ponovo, kako god da okreneš.

Edited June 20, 2019 by djole

[bohumilo]

On 6/18/2019 at 10:55 AM, djole said:

na koliko načina možemo rasporediti n devojčica u k porodica, pri čemu nema nikakvih ograničenja,

Ovo je definitivno najbolji nacin da se formulise razlog zbog kojeg imamo 'nad' (da li se to tako zove?) u formuli.

 

On 6/18/2019 at 11:49 AM, freethrow said:

Izvinite, ali imam utisak da komplikujete zadatak uključivanjem broja porodica.

Samo resenje fundamentalno zavisi od broja porodica, ali meni je posebno bilo interesentano da razumem otkud dolazi funkcija 'nad' u formuli, sa cim iz realnosti korespondira.

 

btw. ove racunarske simulacije su bile sjajna ideja (da se proveri tacnost resenja), to je verovatno stvar ukusa ali ja obozavam ovakvu vrstu primene racunara u cisto teoretskoj diskusiji. 👍

 

 

On 6/18/2019 at 10:20 PM, Malkolm Brogdon said:

U sustini, resenje je jednostavno, samo je pitanje kako to najlakse shvatiti/objasniti.

Evo jednog nacina. Ja sam jednom za neverne tome medju prijateljima organaziovao simulaciju ovog kviza, sa sakrivanjem 100 dinara iza jednog od 3 jastuka - ali uz dodatno pravilo da mora da se ostane pri prvom izboru nakon uklanjanja jednog jastuka, a cena ucesca u kvizu je bila 40 dinara - sto je za ucesnika koji misli da ima sansu od 50% ako ostane pri svome igra koju on mora da prihvati (na datih 80 dinara dobice 100), a ucesnik koji misli da su mu sanse 33% nece igrati, jer misli (ispravno) da ce morati da plati 120 dinara da bi dobio 100. Tu je bila jedna prijateljica (u tom trenutku nastavnica matematike u skoli) koja je posebno vatreno branila 50%, pozivajuci se na "razliku izmedju apriorne i aposteriorne" i slicno. Nakon 20ak igara joj je sve je bilo jasno...

 

 

 

 

On 6/19/2019 at 1:59 AM, Baby said:

 

Hmm... sve?

 

 

To da je on prodao sve je receno u postavci u zadatka, treba da se postavi jednacina, zapise se sve sto je dato i izracuna se koliko je tacno to "sve".

 

 

6 hours ago, Yi Sun Shin said:

Mi polazimo od premise da host zna gde je nagrada, što je jasno i logično. Da li bi menjalo računicu ( u slučaju sa troja vrata )  kada host hipotetički  ne bi znao gde je glavna nagrada i kada ne bi otvaranjem jednih vrata "nabo" upravo  ona gde se ta nagrada nalazi. Pretpostavljam da bi u tom slučaju bilo svejedno da li ostajemo pri svom izboru ili ga menjamo ( sa stanovišta verovatnoće )

 

59 minutes ago, Kido from Junkovac said:

Ako host okrene 'nabod' da li je to poraz za igraca? Ja bih prvo uradio test sa 3 karte...

 

Odigrao sam 15 ponavljanja sa 3 biznis karte.

Dve moje biznis karte su nista, a na trecoj sam precrtao svoje zanimanje I napisao owner. : /

 

Elem, dobio sam 4 puta iz 15, sto mi govori da verovatnoca bi ostala oko 33 %

 

Ako Monti ne zna gde je auto nego pogadja, svejedno je da li menjas ili ostajes pri svome: ako je on promasio sanse su 50-50, sta god da uradis. Ako radis simulaciju, u 33% slucajeva ces dobiti, bilo da ostanes pri svome bilo da menjas - a u preostalih 33% slucajeva ce Monti pogoditi. To sto on zna gde je nagrada je kljucni podatak u pitalici.

 

 

EDIT: I ne samo da zna, mi moramo da budemo sigurni da voditelj UVEK na pocetku otvara vrata iza kojih nema nista! Ako on u nekim epizodama iz prve otvori vrata sa nagradom - npr, kad takmicar promasi Monti u tajnosti baca kockicu i ako padne 6-ica otvara dobitna vrata u ostalim slucajevima prazna - tada takodje ovaj racun koji je predstavljen ne radi.

Edited June 20, 2019 by bohumilo

[𝓑𝓪𝓫𝔂]

2 hours ago, bohumilo said:

 

To da je on prodao sve je receno u postavci u zadatka, treba da se postavi jednacina, zapise se sve sto je dato i izracuna se koliko je tacno to "sve".

 

 

 

Verovatno da da, ali ako pise ovo:

 

On 6/18/2019 at 5:41 PM, Bradzorf said:

 

.....

Seljak je krenuo na pijac i poterao najmanje hiljadu lubenica. 

.....

Koliko najmanje lubenica je seljak prodao na pijaci?

 

 

 

Onda bi odgovor bio "najmenje je prodao hiljadu lubenica"... 

 

Meni stvarno ne pada na pamet prvo sto pomislim da zakomplikujem 😄

[Bradzorf]

Pretpostavimo da je seljak prodao 1000 lubenica. Važi:

Prvi nakupac je otkupio polovinu svih(500) plus polovinu jedne(0.5). Očigledno, ovo nije ceo broj(500+0.5=500.5).

 

 

Pretpostavimo da je seljak prodao 1001 lubenicu. Važi:

Prvi nakupac je otkupio polovinu svih(500.5) plus polovinu jedne(0.5). Očigledno, ovo je ceo broj(500.5+0.5=501).

 

Međutim, ovo nije rešenje zbog drugog nakupca, da ne otkrivam sve.

 

[𝓑𝓪𝓫𝔂]

10 hours ago, Bradzorf said:

Pretpostavimo da je seljak prodao 1000 lubenica. Važi:

Prvi nakupac je otkupio polovinu svih(500) plus polovinu jedne(0.5). Očigledno, ovo nije ceo broj(500+0.5=500.5).

 

 

Pretpostavimo da je seljak prodao 1001 lubenicu. Važi:

Prvi nakupac je otkupio polovinu svih(500.5) plus polovinu jedne(0.5). Očigledno, ovo je ceo broj(500.5+0.5=501).

 

Međutim, ovo nije rešenje zbog drugog nakupca, da ne otkrivam sve.

 

 

Ok, nemam formulu, izracunala sam 1007 lubenica, ako sam na dobrom putu mogu se zabavljati sa forumulama...

 

Edit: nije dobro, pola zadatka sam propustila... 

Edited June 21, 2019 by Baby

[djole]

Kad sam prvi put pročitao zadatak, mislio sam da se čovek zeza malo s nama, nekako mi je ceo tekst izgledao malo komičan :D Zbunile me sve one trećine, četvrtine, petine, plus paketi od 12 i 13 lubenica. Onda vidim da zadatak stvarno ima smisla.

Elem, došao sam do rešenja 10079.

Nemam neki lep postupak (sad bih verovatno mogao sa izvučem nešto al' nemam baš volje), u suštini je to bio trial and error uz neke osnovne smernice :D

Prva očigledna stvar je da mora biti neparan broj, zbog prvog kupca. Kad se malo ispiše šta svaki kupac kupuje, nekom logikom, dobijemo da broj lubenica(x) + 1 mora biti deljiv sa 2, 6, 12 i 20, kao i da svaki od tih količnika mora biti deljiv sa 12, da bi mogle lubenice da se podele u pakete. Najmanji zajednički sadržalac za ove 2, 6, 12 i 20 je 60, a onda najmanji broj tako da njihov količnik bude deljiv sa 12 je 12*60=720.

Takođe, još jedan uslov je da ono što ostane bude deljivo sa 13, tj. da x/5 - 4/5 (to je ono što ostane nakon što prva četiri kupca kupe lubenice) bude deljivo sa 13.

719 ispunjava taj uslov ali nije rešenje jer je x>=1000. Sledeći broj koji zadovoljava je 10079, a to je ustvari (720 + 13*720) - 1

[freethrow]

Jedan od lepih problema koji se mogu rešiti na više načina, a koji se isto pojavljuje u raznim intervjuima je onaj o amebi.

 

Ameba ima 25% šanse da nema poroda, 25% šanse da "rodi" tačno jednu amebu i 50% šanse da "rodi" tačno dve amebe. Iste verovatnoće važe za svakog (eventualnog) potomka.

 

Kolika je verovatnoća da će ova "loza ameba" da se ugasi?

 

 

[Old 666]

Početno stanje je jedna ameba?

[freethrow]

da.