Jednostavni matematicki problemi.

Romantik · June 16, 2019

On 6/14/2019 at 6:55 PM, bohumilo said:

Ok, evo jednog cuvenog (i naizgled laganog) problema koji bio postavljan kandidatima na razgovoru za posao u Guglu, i koji je kasnije bio povod zucnih diskusija na par blogova, jer se ispostavilo da je "ocigledni" odgovor - i odgovor koji su u Guglovoj HR sluzbi ocekivali - bio pogresan:

Postoji zemlja u kojoj svi roditelji mnogo vise zele da imaju musko nego zensko dete, pa takva preferencija dominira reproduktivnim ponasanjem ljudi na sledeci nacin: svaka porodica radja decu dok ne dobije decaka, i cim dobije decaka "zatvara fabriku", ne radja vise dece. Koji je ocekivani procenat devojcica u ukupnom broju dece tom drustvu?

Pojasnjenje: "ocekivani" ovde znaci u smislu "statistickog ocekivanja" odnosno proseka - ako bismo imali ogroman broj takvih drzava, koji bi bio PROSECNI udeo devojcica u ukupnom broju dece u takvim zemljama.

Verovatnoca dobijanja deteta bilo kog pola bi trebalo da je 50-50, ali porodice koje dobiju zensku decu bi pokusavale ponovo sve dok ne dobiju musko dete, dok bi porodice koje iz prvog pokusaja dobiju musko dete tu stale. Cisto matematicki to bi znacilo da od troje rodjene dece dvoje bi bilo musko a jedno zensko, dakle devojcice bi cinile 33%.

yossarian · June 16, 2019

Ako, radi jednostavnosti, pretpostavimo da svake godine isti broj parova - "n" poželi decu:

Ove godine će se roditi n prve dece, od toga n/2 dečaka.

Ove godine će i n/2 parova, koji su prošle godine dobili devojčice, probati ponovo. Dakle, n/2 druge dece, od čega su pola dečaci.

n/4 parova će dobiti treće dete, jer su prošle i pretprošle godine dobili devojčice

itd...

Broj dečaka rođenih ove godine je zbir onih iz prvog pokušaja, onih čijim roditeljima je ovo drugi pokušaj itd.

n/2 + n/4 + n/8 + ...

A broj devojčica?

pa...

n/2 + n/4 + n/8 + ...

Isto...

Čak i ako je broj parova svake godine različit, formule će biti iste (n/2 prve dece plus m/2 druge plus p/2 treće itd) kako za dečake, tako i za devojčice.

Baš kao što je Baby zaključila daleko prostijim rasuđivanjem.

Potpuno je nebitno koliko parova će ove godine dobiti svoje prvo dete, koliko njih drugo - od sve dece će pola biti dečaci, a pola devojčice, i tako svake godine, jer će svake godine neki novi parovi počinjati ciklus i dobijati svoje prvo dete, neki drugi će dobiti drugo, neki treće dete...

Na nekom malom izolovanom ostrvu sa 50 stanovnika ovakvo reproduktivno ponašanje možda i može izazvati fluktuacije (jer prođu godine i godine bez novih parova), ali u nekoj višemilionskoj državi statistika radi svoje.

Edited June 16, 2019 by yossarian

yossarian · June 16, 2019

P.S.

Jedan lik se u toj državi obogatio.

Postavio je mali oglas da pogađa pol još nerođenog deteta.

Cena usluge - deset dolara.

Garantovao je uspeh... a ako pogreši, lik je ljudima uredno vraćao tih deset dolara koje su mu platili.

Svima je uvek predviđao dečake.

bohumilo · June 16, 2019

6 hours ago, Romantik said:

Verovatnoca dobijanja deteta bilo kog pola bi trebalo da je 50-50, ali porodice koje dobiju zensku decu bi pokusavale ponovo sve dok ne dobiju musko dete, dok bi porodice koje iz prvog pokusaja dobiju musko dete tu stale. Cisto matematicki to bi znacilo da od troje rodjene dece dvoje bi bilo musko a jedno zensko, dakle devojcice bi cinile 33%.

Ne razumem kako si dosao do 33%, jer, tacno je da bi porodice koje dobiju devojcicu kao prvo dete pokusati opet, ali i u drugom pokusaju oni opet imaju sansu 50-50, polovina od toga (tj 1/4 od pocetnog broja parova) ce dobiti decaka i prestati a preosatala cetvrtina krenuti da pravi i 3. dete, gde opet imaju "fiti-fiti" (sto bi rekao Debeli Toni) - bas ovo sto je Yossarian objasnio - a ja sam nacrtao sam zacas jednu slicucu, koja izgleda ocajno ali mozda pomogne - kad se saberu sve povrsine/kockice vidi se da posle svakog deteta ima jednak broj decaka i devojcica:

On 6/14/2019 at 9:11 PM, Baby said:

Hmm.. da probam.

Ako je 50:50 posto sansa da par dobije devojcica:decak, svaki naredni put ce sansa biti ista, valjda onda na kraju bude 50:50 tj 50% devojica?

4 hours ago, yossarian said:

Broj dečaka rođenih ove godine je zbir onih iz prvog pokušaja, onih čijim roditeljima je ovo drugi pokušaj itd.

n/2 + n/4 + n/8 + ...

A broj devojčica?

pa...

n/2 + n/4 + n/8 + ...

16 hours ago, Yi Sun Shin said:

Kladim se da je to ono od HR odseka google-a očekivano i pogrešno rešenje... 😄

E da, to jeste pogresan odgovor, ja sam se takodje prvo put vodio logikom "sanse za decaka i devojcicu su 50-50, i roditelji tu nista ne mogu da promene, pa treba ocekivati da procenat devojcica bude jednak procentu decaka, tj. 50%". Prvi deo je svakako tacan, sanse za decaka i devojcicu jesu po 50%, i to znaci da ce ocekivani BROJ decaka i devojcica biti jednak, ali to ne znaci da ce ocekivani procenat devojcica u ukupnom broju dece biti 50% - a ljudima cesto ne padne na pamet da je takvo nesto moguce.

Tacan odgovor u ovom slucaju zavisi od broja porodica u zemlji. Ako u zemlji ima samo jedna porodica, moguce konfiguracije dece sa odgovarajucim verovatnocama za takvu konfiguraciju cu predstaviti u tablici ispod:

verovatnoca        broj devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                   0                           M
    1/4                        1                           ZM
    1/8                        2                           ZZM
    1/16                      3                           ZZZM
    ...                           ...                          ...

Posto u svakoj kofiguraciji ima po 1 jedan decak, ocekivani broj decaka je (zbir verovatnoca pomnozenih sa brojem decaka (sto je uvek 1):

1*1/2 + 1*1/4 + 1*1/8 + 1*1/16 + ...= 1

Ocekivani broj devojcica je (zbir verovatnoca pomnozenih sa brojem decaka (sto je uvek 1):

0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + ...= 1

Dakle, ocekivani broj decaka i devojcica je jednak. Ali ocekivani PROCENAT devojcica nije 50% - sad cu ispod ispisati tabelu u kojoj figurisu procenti devojcica:

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                   0                              M
    1/4                        1/2                         ZM
    1/8                        2/3                         ZZM
    1/16                      3/4                         ZZZM
    ...                           ...                          ...                           ...

0*1/2 + 1/2*1/4 + 2/3*1/8 + 3/4*1/16 + .... = 0.306!

Dakle ako ima samo jedna porodica u drzavi ocekivani procenat devojcica je 30.6%. Ova racunica moze da izvede za zemlje sa drugacijim brojem porodica, npr za 5000 porodica procenat je 49.995% itd...

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Moze da se napakuje jos ocigledniji i ekstremniji primer ovoga (sto bi matematicari zvali "statisticko ocekivanje nije multiplikativno za zavisne promenljive"): Ako svako jutro bacam novcic i ako padne glava za dorucak jedem jedno jaje, a ako padne pismo za dorucak jedem jedno jaje i 2 palacinke. Ja tada u proseku (tj u ocekivanju, kada bi se gledalo gomila mojih kopija koji svako jutro rade ovo isto) jedem isti broj jaja i palacinaka po danu - jedno jaje i jedan palacinak u proseku, ali ocekivani procentualni udeo palacinaka u mom dorucuku nije 50% (polovinu dana mi je udeo palacinaka 0%, a drugu polovinu 66%) nego: 1/2 * 0% + 1/2 * 66% = 33%!!!

Edited June 16, 2019 by bohumilo

freethrow · June 16, 2019

23 minutes ago, bohumilo said:

"statisticko ocekivanje nije multiplikativno za zavisne promenljive"): Ako svako jutro bacam novcic i ako padne glava za dorucak jedem jedno jaje, a ako padne pismo za dorucak jedem jedno jaje i 2 palacinke. Ja tada u proseku (tj u ocekivanju, kada bi se gledalo gomila mojih kopija koji svako jutro rade ovo isto) jedem isti broj jaja i palacinaka po danu - jedno jaje i jedan palacinak u proseku, ali ocekivani procentualni udeo palacinaka u mom dorucuku nije 50% (polovinu dana mi je udeo palacinaka 0%, a drugu polovinu 66%) nego: 1/2 * 0% + 1/2 * 66% = 33%!!!

Ovo je suština, bravo-

Ovde ima fino izvođenje koje pokazuje da za državu sa beskonačnim brojem stanovnika P konvergira ka 0.5.

https://mathoverflow.net/questions/17960/google-question-in-a-country-in-which-people-only-want-boys

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 16, 2019

Meni nesto skripi u ovom odgovoru. Verovatno je tacan, ali pokusavam da razmislim na drugi nacin.

3 hours ago, bohumilo said:

Ne razumem kako si dosao do 33%, jer, tacno je da bi porodice koje dobiju devojcicu kao prvo dete pokusati opet, ali i u drugom pokusaju oni opet imaju sansu 50-50, polovina od toga (tj 1/4 od pocetnog broja parova) ce dobiti decaka i prestati a preosatala cetvrtina krenuti da pravi i 3. dete, gde opet imaju "fiti-fiti" (sto bi rekao Debeli Toni) - bas ovo sto je Yossarian objasnio - a ja sam nacrtao sam zacas jednu slicucu, koja izgleda ocajno ali mozda pomogne - kad se saberu sve povrsine/kockice vidi se da posle svakog deteta ima jednak broj decaka i devojcica:

E da, to jeste pogresan odgovor, ja sam se takodje prvo put vodio logikom "sanse za decaka i devojcicu su 50-50, i roditelji tu nista ne mogu da promene, pa treba ocekivati da procenat devojcica bude jednak procentu decaka, tj. 50%". Prvi deo je svakako tacan, sanse za decaka i devojcicu jesu po 50%, i to znaci da ce ocekivani BROJ decaka i devojcica biti jednak, ali to ne znaci da ce ocekivani procenat devojcica u ukupnom broju dece biti 50% - a ljudima cesto ne padne na pamet da je takvo nesto moguce.

Tacan odgovor u ovom slucaju zavisi od broja porodica u zemlji. Ako u zemlji ima samo jedna porodica, moguce konfiguracije dece sa odgovarajucim verovatnocama za takvu konfiguraciju cu predstaviti u tablici ispod:

verovatnoca        broj devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                   0                           M
    1/4                        1                           ZM
    1/8                        2                           ZZM
    1/16                      3                           ZZZM
    ...                           ...                          ...

Posto u svakoj kofiguraciji ima po 1 jedan decak, ocekivani broj decaka je (zbir verovatnoca pomnozenih sa brojem decaka (sto je uvek 1):

1*1/2 + 1*1/4 + 1*1/8 + 1*1/16 + ...= 1

Ocekivani broj devojcica je (zbir verovatnoca pomnozenih sa brojem decaka (sto je uvek 1):

0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + ...= 1

Dakle, ocekivani broj decaka i devojcica je jednak. Ali ocekivani PROCENAT devojcica nije 50% - sad cu ispod ispisati tabelu u kojoj figurisu procenti devojcica:

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                   0                              M
    1/4                        1/2                         ZM
    1/8                        2/3                         ZZM
    1/16                      3/4                         ZZZM
    ...                           ...                          ...                           ...

0*1/2 + 1/2*1/4 + 2/3*1/8 + 3/4*1/16 + .... = 0.306!

Dakle ako ima samo jedna porodica u drzavi ocekivani procenat devojcica je 30.6%. Ova racunica moze da izvede za zemlje sa drugacijim brojem porodica, npr za 5000 porodica procenat je 49.995% itd...

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Moze da se napakuje jos ocigledniji i ekstremniji primer ovoga (sto bi matematicari zvali "statisticko ocekivanje nije multiplikativno za zavisne promenljive"): Ako svako jutro bacam novcic i ako padne glava za dorucak jedem jedno jaje, a ako padne pismo za dorucak jedem jedno jaje i 2 palacinke. Ja tada u proseku (tj u ocekivanju, kada bi se gledalo gomila mojih kopija koji svako jutro rade ovo isto) jedem isti broj jaja i palacinaka po danu - jedno jaje i jedan palacinak u proseku, ali ocekivani procentualni udeo palacinaka u mom dorucuku nije 50% (polovinu dana mi je udeo palacinaka 0%, a drugu polovinu 66%) nego: 1/2 * 0% + 1/2 * 66% = 33%!!!

Quote

Posto u svakoj kofiguraciji ima po 1 jedan decak, ocekivani broj decaka je (zbir verovatnoca pomnozenih sa brojem decaka (sto je uvek 1):

1*1/2 + 1*1/4 + 1*1/8 + 1*1/16 + ...= 1

(1)(1)/2+(1)(1)/4+(1)(1)/8+(1)(1)/16

=15/16. 0.9375

Quote

Ocekivani broj devojcica je (zbir verovatnoca pomnozenih sa brojem decaka (sto je uvek 1):

0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + ...= 1

(0)(1)/2+(1)(1)/4+(2)(1)/8+(3)(1)/16

=11/16 0.6875

Ovako postavljen problem ne daje na kraju 1, nego drugu prporciju.

Quote

0*1/2 + 1/2*1/4 + 2/3*1/8 + 3/4*1/16 + .... = 0.306!

=49/192 0.2552080

Pod uslovom da se uzimaju samo dati brojevi bez beskonacnog... u daljem se menja procenat naravno.

Ako pogledas tabelu:

Quote

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                   0                              M
    1/4                        1/2                         ZM
    1/8                        2/3                         ZZM
    1/16                      3/4                         ZZZM

Zar nije da su oni sto su u 1/16 vec racunati u npr. onoj 1/4 i 1/8, tj sto vise devojcica u porodici, netacniji podatak jer se te familije pojavljuju vise puta u statistici?

Samo pitam... ne znam resenje, pokusavam da razmislim sto ne znaci da sam u pravu.

djole · June 16, 2019

Pa moraš uzeti beskonačni niz jer ima beskonačno mnogo mogućih konfiguracija, tj. parovi će pokušavati sve dok ne dobiju dečaka.

btw za očekivani broj devojčica je samo pogrešio, treba da piše pomnoženo sa brojem devojčica, što i jeste u računu

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 16, 2019

33 minutes ago, djole said:

Pa moraš uzeti beskonačni niz jer ima beskonačno mnogo mogućih konfiguracija, tj. parovi će pokušavati sve dok ne dobiju dečaka.

btw za očekivani broj devojčica je samo pogrešio, treba da piše pomnoženo sa brojem devojčica, što i jeste u računu

Realno ne moze biti beskonacni niz ako je problem ogranicen (zivotnim ili reproduktivnim vekom), ali i ako uzmemo da je beskonacni niz, opet od one 1/32 gde je u familiji 4 devojcice od 5 dece, opet ta familija mora biti izuzeta iz predjasnjih racunanja tj. gde je u familiji 1 devojcica i 1 decak (1/2), inace se dobija pogresan rezultat. Zar ne?

Edited June 16, 2019 by Baby

djole · June 16, 2019

Realno ne moze biti beskonacni niz ako je problem ogranicen (zivotnim ili reproduktivnim vekom), ali i ako uzmemo da je beskonacni niz, opet od one 1/32 gde je u familiji 4 devojcice od 5 dece, opet ta familija mora biti izuzeta iz predjasnjih racunanja tj. gde je u familiji 1 devojcica i 1 decak (1/2), inace se dobija pogresan rezultat. Zar ne?

Nisam baš siguran da kontam. Da probam malo drugačije da formulišem ono što je bohumilo rekao.

Uzmimo samo jednu porodicu.

Postoji 50% šanse da udeo devojčica bude 0%, tj. slučaj u kome se prvo rodi muško dete. Zatim 25% šanse (0.5*0.5) da udeo devojčica bude 50%, tj. slučaj u kome se rodilo prvo žensko pa muško dete. Onda 12.5% šanse (0.5*0.5*0.5) da udeo devojčica bude 66.7%, tj. dve devojčice pa dečak. I tako dalje.

E zato je očekivan udeo devojčica sa jednom porodicom:

0*1/2 + 1/2*1/4 + 2/3*1/8 + ...

n/(n+1) * 1/2^(n+1) gde n ide od 0 do beskonačno, što konvergira ka 0.3068...

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 16, 2019

20 minutes ago, djole said:

n/(n+1) * 1/2^(n+1) gde n ide od 0 do beskonačno, što konvergira ka 0.3068...

Ovaj deo ne razumem. Pitanje je bilo:

On 6/14/2019 at 12:55 PM, bohumilo said:

Pojasnjenje: "ocekivani" ovde znaci u smislu "statistickog ocekivanja" odnosno proseka - ako bismo imali ogroman broj takvih drzava, koji bi bio PROSECNI udeo devojcica u ukupnom broju dece u takvim zemljama.

Prosecni udeo broj devojcica

A ovako postavljeno mi vise lici na pitanje kolike su sanse da bude familija sa beskonacnim nizom devojcica i jednim decakom. Bilo koji broj da stavis umesto n ce na ovako postavljenom problemu dati nulu, zar ne?

djole · June 16, 2019

Prosecni udeo broj devojcica

A ovako postavljeno mi vise lici na pitanje kolike su sanse da bude familija sa beskonacnim nizom devojcica i jednim decakom. Bilo koji broj da stavis umesto n ce na ovako postavljenom problemu dati nulu, zar ne?

Gde se dobija nula? Kako?

Uzmimo najjednostavniji primer sa bacanjem kockice. Koja je očekivana vrednost?

Imamo šest stranica sa vrednostima: 1,2,3,4,5,6 i verovatnoća za svaku je 1/6.

1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 3.5

U ovom problemu koji je postavio bohumilo, imamo beskonačan broj mogućih vrednosti udela devojčica: 0, 1/2, 2/3, 3/4... To je ono n/(n+1). A njihove odgovarajuće verovatnoće su 1/2, 1/4, 1/8, 1/16... to je ono 1/2^(n+1).

Ovo važi za jednu porodicu.

E sad, odgovor 50/50 i jeste u neku ruku tačan pošto se radi o državi pa pretpostavimo da to znači i veliki broj porodica a sa velikim brojem porodica to stvarno i ide ka 50%, ima objašnjeno na onom linku koji je freethrow postavio.

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 16, 2019

2 hours ago, djole said:

ima objašnjeno na onom linku koji je freethrow postavio.

Gledala sam, ima tamo vise resenja, ni jedno nije dato od postavljaca zadatka, a ja stvarno ne mogu da procenim koje od toga je tacno. Nisam matematicar, @mrd je, a on se ne javlja, samo volim da resavam probleme. Nadam se da nisam dosadna, ako jesam... jbg

E ovako, sta je moje resenje:

Broj porodica je jednak broju decaka, znaci B=n

Da bi dobila broj devojcica sam isla ovako

n (br. porodica) * 1/2 devojcica + n (br. porodica) * 1/4 (druga devojcica u porodici) + n (br. porodica) * 1/8 (treca devojcica u porodici)... cetvrta, sesta, deseta devojcica u porodici...

Broj devojcica jednak je

n(1/2)+n(1/4)+n(1/8)+n(1/16)+n(1/32)+n(1/64)+n(1/128)+n(1/256) = 255/256

Primer u brojevima

100.000 porodica ima 100.000 decaka i 99.609 devojcica

15 porodica ima 15 decaka i 14.94 devojcica

Ako dodajemo broj devojcica u porodici recimo:

n(1/2)+n(1/4)+n(1/8)+n(1/16)+n(1/32)+n(1/64)+n(1/128)+n(1/256)+n(1/512)+n(1/1024)+n(1/2048) = 2047/2048

Znaci, posto mora da se zaokruzi, uvek ce biti procenat devojcica jednak broju decaka, tj jednak broju porodica ukupno.

djole · June 16, 2019

1 hour ago, Baby said:

n (br. porodica) * 1/2 devojcica + n (br. porodica) * 1/4 (druga devojcica u porodici) + n (br. porodica) * 1/8 (treca devojcica u porodici)... cetvrta, sesta, deseta devojcica u porodici...

Šta je šta ovde (u smislu verovatnoće) i zašto se baš tako množi?

Ajde čak i da preskočimo kako ćemo doći do toga da je očekivan broj devojčica i dečaka isti, očigledno ti je to intuitivno jasno. Ono što je bitno je da ako je očekivan broj devojčica isti kao i očekivan broj dečaka, to ne znači da je očekivan udeo devojčica 50%.

Nemoj pogrešno da me razumeš ali možda najbolje da pročitaš prethodne postove. Osećam kao da se malo vrtimo u krug.

Edited June 16, 2019 by djole

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 16, 2019

24 minutes ago, djole said:

Šta je šta ovde (u smislu verovatnoće) i zašto se baš tako množi?

Ajde čak i da preskočimo kako ćemo doći do toga da je očekivan broj devojčica i dečaka isti, očigledno ti je to intuitivno jasno. Ono što je bitno je da ako je očekivan broj devojčica isti kao i očekivan broj dečaka, to ne znači da je očekivan udeo devojčica 50%.

Nemoj pogrešno da me razumeš ali možda najbolje da pročitaš prethodne postove. Osećam kao da se malo vrtimo u krug.

Pa broj porodica po proporcijama koji imaju jednu devojcicu, dve devojcice...

Znaci 1000 familija ima sigurno 1000 decaka (to ni ne mora da se racuna, broj familija = broju decaka).

Ako je od toga 1/2 devojcica polazna tacka + svaka sledeca polovina prethodnog broja je devojcica plus (1/2 (jedna devojcica), 1/4 (druga devojcica) tj. 1/2 od one 1/2 sa devojcicama, 1/8 (treca devojcica)...)

Udeo devojcica je nesto malo manji od 50%, a posto cifra mora da se zaokruzi posto je decimalna, dobije se 50%.

Moguce da se vrtimo u krug, ali to je kada se apriori prihvati jedan nacin resenja. U krajnjem slucaju i ti si napisao isto sto i ja jos u prvom postu:

Quote

E sad, odgovor 50/50 i jeste u neku ruku tačan pošto se radi o državi pa pretpostavimo da to znači i veliki broj porodica a sa velikim brojem porodica to stvarno i ide ka 50%

Nisam nasla na netu definitivni odgovor na ova pitanja, nego ljudi koji su pisali isto kao i mi... sto mi nije relevantno da prihvatim kao 100% tacno resenje (pogotovo ne ono sa ~66%).

Ok, ne moramo vise o ovom.

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 17, 2019

Evo da promenimo, nadjoh neki problem:

Ako A^x+ B^y = C^z, gde su A, B, C, x, y, z pozitivni celi brojevi x, y, z su svi veći od 2, a A, B i C moraju da imaju zajednički činilac.

mrd · June 17, 2019

Ja bih rekao da je to limit na 50%. :)

bohumilo · June 17, 2019

13 hours ago, Baby said:

=15/16. 0.9375

=11/16 0.6875

12 hours ago, djole said:

Pa moraš uzeti beskonačni niz jer ima beskonačno mnogo mogućih konfiguracija,

Da, naravno, radi se o beskonacnim redovima, ja sam naveo samo prva 4 clana. Za sabiranje redova (i druge matematicke operacije) ja generalno korisim ovaj sajt ispod, pa se svako i sam moze uveriti koliki su zbirovi redova koje sam napisao:

https://www.wolframalpha.com/

12 hours ago, Baby said:

ali i ako uzmemo da je beskonacni niz, opet od one 1/32 gde je u familiji 4 devojcice od 5 dece, opet ta familija mora biti izuzeta iz predjasnjih racunanja tj. gde je u familiji 1 devojcica i 1 decak (1/2), inace se dobija pogresan rezultat. Zar ne?

Ta familija jeste izuzeta od prethodnih, u ovim grupama su sve RAZLICITE porodice (ZM i ZZZZM su potpuno disjunktni skupovi, ni jedna porodica ne nalazi u oba), zato i mozemo da ih sabiramo kao redove.

12 hours ago, Baby said:

Realno ne moze biti beskonacni niz ako je problem ogranicen

Sto se tice beskonacnosti, ovde implicitno figurisu 2 beskonacnosti - jedna koje se ne mozemo osloboditi (bez obzira sto je problem konacan) i druga koje mozemo:

1) Beskonacnost koje se ne mozemo osloboditi je to sto posmatramo beskonacno mnogo drzava iste velicine, tacnije receno, racunamo ka cemu konvergira prosek kada broj drzava ide ka beskonacnosti. Ova beskonacnost je utkana u samu definiciju pojma "verovatnoca", kada kazemo da je "verovatnoca da padne glava ili pismo 50%", to ne znaci da ce od 10 ili 1000 ili 1000000 bacanja tacno pola biti glava a pola pismo, nego da broj glava i broj pisama mozemo proizvoljno da priblizimo polovini samo ako dovoljno dugo bacamo, tj, da njihovi odnosi KONVERGIRAJU polovini kada broj bacanja ide u beskonacno.

2) Beskonacnost koje se mozemo osloboditi je ovo sto smo dopustili da svaki par ima proizvojno mnogo dece. To moze svako da ogranici kako god hoce, to je mozda jos i bolje jer je racunica laksa, ne moramo da sabiramo beskonacne redove, i to jos plasticnije ilustruje ovu pojavu nemultiplikativosti ocekivanja. Evo primera, ako ogranicimo da svako moze da ima maksimalno dvoje dece (ko zeli moze da ogranici na troje, cetvore itd)

verovatnoca BROJ devojcica konfiguracija porodice
1/2 0 M
1/4 1 ZM
1/4 2 ZZ

Ovekivani broj devojcica je:

1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/4 * 2 = 3/4

Ocekivani broj decaka je:

1/2 * 1 + 1/4 * 1 = 3/4

Dakle ocekivani/prosecni brojevi devojcica i decaka su jednaki. Medjutim ocekivani PROCENAT devojcica je:

verovatnoca PROCENAT devojcica konfiguracija porodice
1/2 0 M
1/4 1/2 ZM
1/4 1 ZZ

1/2 * 0 + 1/4 * 1/2 + 1/4 * 1 = 3/8 = 37.5%

11 hours ago, djole said:

E sad, odgovor 50/50 i jeste u neku ruku tačan pošto se radi o državi pa pretpostavimo da to znači i veliki broj porodica a sa velikim brojem porodica to stvarno i ide ka 50%, ima objašnjeno na onom linku koji je freethrow postavio.

E sad ovo uvodi jos jednu dodatnu, trecu, beskonacnost koja ima malo opravdanja u kontekstu problema - ona pusta da broj stanovnika tj. parova tezi ka beskonacnosti, a u postavci problema uzimamo fiksiranu drzavu, sa fiksiranim brojem stanovnika. No, to je svakako tacno, kada broj stanovnika tezi beskonacnosti tada procenat devocica tezu 50%, i to prilicno brzo. Recimo, kada se izracuna, ocekivani procenat za zemlju otprilike velicine SAD, koja ima oko 100 miliona porodica je 49,999999975%.

Edited June 17, 2019 by bohumilo

bohumilo · June 17, 2019

6 hours ago, Baby said:

Evo da promenimo, nadjoh neki problem:

Ako A^x+ B^y = C^z, gde su A, B, C, x, y, z pozitivni celi brojevi x, y, z su svi veći od 2, a A, B i C moraju da imaju zajednički činilac.

Ovo sto si ovde postavila je "Bilova konjuktura", sto je neresen matematicki problem, za njegovo resenje postoji nagrada od milion dolara, i on predstavlja uopstenje (dakle tezi problem od njega) Velike Fermaove Teoreme, legendarnog problema sa dubokim implikacijama po matematicku teoriju en general, koji je resavan preko 300 godina, i cije resenje (koje je ponudio Sir Endru Vajls pre nekih 25 godina - uz doprinos ogromnog broja drugih matematicara) se smatra jednim od najvecih proboja u istoriji matematike, za sta je Vajls dobio sve najvise pocasti i odlikovanja. Ocekivati da se na forumu resi problem ciji je VFT samo specijalan slucaj (kada su x=y=z) je mrvicu preoptimisticno.

https://en.wikipedia.org/wiki/Beal_conjecture

freethrow · June 17, 2019

5 hours ago, bohumilo said:

Da, naravno, radi se o beskonacnim redovima, ja sam naveo samo prva 4 clana. Za sabiranje redova (i druge matematicke operacije) ja generalno korisim ovaj sajt ispod, pa se svako i sam moze uveriti koliki su zbirovi redova koje sam napisao:

https://www.wolframalpha.com/

Ta familija jeste izuzeta od prethodnih, u ovim grupama su sve RAZLICITE porodice (ZM i ZZZZM su potpuno disjunktni skupovi, ni jedna porodica ne nalazi u oba), zato i mozemo da ih sabiramo kao redove.

Sto se tice beskonacnosti, ovde implicitno figurisu 2 beskonacnosti - jedna koje se ne mozemo osloboditi (bez obzira sto je problem konacan) i druga koje mozemo:

1) Beskonacnost koje se ne mozemo osloboditi je to sto posmatramo beskonacno mnogo drzava iste velicine, tacnije receno, racunamo ka cemu konvergira prosek kada broj drzava ide ka beskonacnosti. Ova beskonacnost je utkana u samu definiciju pojma "verovatnoca", kada kazemo da je "verovatnoca da padne glava ili pismo 50%", to ne znaci da ce od 10 ili 1000 ili 1000000 bacanja tacno pola biti glava a pola pismo, nego da broj glava i broj pisama mozemo proizvoljno da priblizimo polovini samo ako dovoljno dugo bacamo, tj, da njihovi odnosi KONVERGIRAJU polovini kada broj bacanja ide u beskonacno.

2) Beskonacnost koje se mozemo osloboditi je ovo sto smo dopustili da svaki par ima proizvojno mnogo dece. To moze svako da ogranici kako god hoce, to je mozda jos i bolje jer je racunica laksa, ne moramo da sabiramo beskonacne redove, i to jos plasticnije ilustruje ovu pojavu nemultiplikativosti ocekivanja. Evo primera, ako ogranicimo da svako moze da ima maksimalno dvoje dece (ko zeli moze da ogranici na troje, cetvore itd)

verovatnoca BROJ devojcica konfiguracija porodice
1/2 0 M
1/4 1 ZM
1/4 2 ZZ

Ovekivani broj devojcica je:

1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/4 * 2 = 3/4

Ocekivani broj decaka je:

1/2 * 1 + 1/4 * 1 = 3/4

Dakle ocekivani/prosecni brojevi devojcica i decaka su jednaki. Medjutim ocekivani PROCENAT devojcica je:

verovatnoca PROCENAT devojcica konfiguracija porodice
1/2 0 M
1/4 1/2 ZM
1/4 1 ZZ

1/2 * 0 + 1/4 * 1/2 + 1/4 * 1 = 3/8 = 37.5%

E sad ovo uvodi jos jednu dodatnu, trecu, beskonacnost koja ima malo opravdanja u kontekstu problema - ona pusta da broj stanovnika tj. parova tezi ka beskonacnosti, a u postavci problema uzimamo fiksiranu drzavu, sa fiksiranim brojem stanovnika. No, to je svakako tacno, kada broj stanovnika tezi beskonacnosti tada procenat devocica tezu 50%, i to prilicno brzo. Recimo, kada se izracuna, ocekivani procenat za zemlju otprilike velicine SAD, koja ima oko 100 miliona porodica je 49,999999975%.

Evo, iako ima tamo neka mala simulacijica, nije mi bila najjasnija pa sam ja napravio svoju, seljačku:

Spoiler

import random

class Birth():

def __init__(self):
self.total_boys = 0
self.total_girls = 0

def make_babies(self):

baby = random.choice(['boy','girl'])

if baby == 'boy':
print('A boy is born - stopping now...')
print('--------------------------------------')
self.total_boys+=1
else:
print('A girl is born - s here we go again...')
self.total_girls+=1
self.make_babies()

def get_totals(self):

print(self.total_boys, self.total_girls)

def simulate(self, N = 100):
for i in range(N):
self.make_babies()
print('Simulation ran for {} families'.format(N))
print('Results: {} boys, and {} girls'.format(self.total_boys, self.total_girls))

simulation = Birth()

simulation.simulate(1000)

Da ne kucam ovde rezultate, ali definitivno konvergira: na milion dečaka/porodica, na primer, daje milion i 1600 devojčica.

Mada je dosta prostije, pošto je , onda se može izvrteti E = Np+Np²+Np³+...+Np^N, pa je E = np(ceo ovaj niz koji daje 2). E=2Np = 2x0.5+N = N. E -> N za dovoljno veliko N. Kraj.

Uopšteno za verovatnoću rađanja devojčice različitu od 0.5, dobija se:

E = Np+Np²+Np³+...+Np^N, pa može da se izvuče Np(1+1/q + 1/q² + 1/q što je suštinski ${1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}+{1 \over n^{5}}+\cdots ={n \over n-1}.$

ali samo ako je n>1, kada se zameni da je n=1/p, ispada matematičko očekivanje broja devojčica jednako Np*(q/q-1) = Np/1-p. Ovo za verovatnoću 0,5 daje 0,5.

Edited June 17, 2019 by freethrow

djole · June 17, 2019

Nego mene zanima ono izvođenje za opšti slučaj, pre svega kako doći do onog binomnog koeficijenta

( n+k-1 )

( k-1 )

Ovo liči na kombinacije sa ponavljanjem ali nije. Ima li neki trik?

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 17, 2019

7 hours ago, bohumilo said:

Ovo sto si ovde postavila je "Bilova konjuktura", sto je neresen matematicki problem, za njegovo resenje postoji nagrada od milion dolara, i on predstavlja uopstenje (dakle tezi problem od njega) Velike Fermaove Teoreme, legendarnog problema sa dubokim implikacijama po matematicku teoriju en general, koji je resavan preko 300 godina, i cije resenje (koje je ponudio Sir Endru Vajls pre nekih 25 godina - uz doprinos ogromnog broja drugih matematicara) se smatra jednim od najvecih proboja u istoriji matematike, za sta je Vajls dobio sve najvise pocasti i odlikovanja. Ocekivati da se na forumu resi problem ciji je VFT samo specijalan slucaj (kada su x=y=z) je mrvicu preoptimisticno.

https://en.wikipedia.org/wiki/Beal_conjecture

Znas zasto sam to nasla, zato sto niko ni ne pokusava ustvari da resava problem, nego trazi odgovore na internetu.

2³ + 2³ = 2⁴

Sta sa ovim resenjem nije uredu?

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 17, 2019

8 hours ago, bohumilo said:

Dakle ocekivani/prosecni brojevi devojcica i decaka su jednaki. Medjutim ocekivani PROCENAT devojcica je:

verovatnoca PROCENAT devojcica konfiguracija porodice
1/2 0 M
1/4 1/2 ZM
1/4 1 ZZ

1/2 * 0 + 1/4 * 1/2 + 1/4 * 1 = 3/8 = 37.5%

Zasto ovde nedostaje?

verovatnoca PROCENAT devojcica konfiguracija porodice
1/2 1 Z

Ako je verovatnoca 1/2 da 100% bude Z...

Old 666 · June 17, 2019

59 minutes ago, Baby said:

Znas zasto sam to nasla, zato sto niko ni ne pokusava ustvari da resava problem, nego trazi odgovore na internetu.

2³ + 2³ = 2⁴

Sta sa ovim resenjem nije uredu?

Ovo rešenje bi bilo to...rešenje ( nekakvo ), kada bi zadatak koji si zadala glasio da se nađe BAR JEDNO A,B,C koje zadovoljava zadati uslov. Zadatak koji si ti zadala je ipak donekle drugačiji.

Edited June 17, 2019 by Yi Sun Shin

𝓑𝓪𝓫𝔂 · June 17, 2019

21 minutes ago, Yi Sun Shin said:

Ovo rešenje bi bilo to...rešenje ( nekakvo ), kada bi zadatak koji si zadala glasio da se nađe BAR JEDNO A,B,C koje zadovoljava zadati uslov. Zadatak koji si ti zadala je ipak donekle drugačiji.

Ne, to jeste resenje ali nije dobro iz razloga sto je 2 primarni broj i nema svoj primarni faktor. Eto to bi bio odgovor. Zadatak sam dala i znala da nema resenja, mozda naivno pomislila da ce neko pokusati da ga resava, da bi se naravno ispostavilo da google bolje zna... Na zalost mislim da nam ova igra nije bas nesto naklonjena

freethrow · June 17, 2019

1 hour ago, Baby said:

Zasto ovde nedostaje?

verovatnoca PROCENAT devojcica konfiguracija porodice
1/2 1 Z

Ako je verovatnoca 1/2 da 100% bude Z...

ne kapiram?

btw "prime number" je prost broj.

Edited June 17, 2019 by freethrow

Jednostavni matematicki problemi.

Recommended Posts

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Link to comment

Share on other sites

Create an account or sign in to comment

Create an account

Sign in