Jump to content

Jednostavni matematicki problemi.


Recommended Posts

15 minutes ago, freethrow said:

ne kapiram? 

 

btw "prime number" je prost broj. 

 

Da, prost broj sam po sebi i nema zajednicki cinilac jer je 2 cinilac u tom slucaju. 

 

Da dodam: taj odgovor je poslat i nije prihvacen, daje tacno resenje. 

 

A propo onog gore sam rekla za tabelu stoji verovatnoca, procenat d i konfiguracija porodice, zasto u verovatnoci stoji da polovina porodice ima ocekivano 0 devojcica, sta je sa onom polovinom sto imaju ocekivano devojice? Jer rezultat se menja ako se doda i ta polovina. Zasto bi se ta polovina izostavila u proracunu? 

Jer tako mozemo onda izostaviti sledeci red 1/4 1/2 ZM

 

 

Edited by Baby
Link to post
Share on other sites
On 6/16/2019 at 8:47 AM, bohumilo said:

 

 

 

Dakle, ocekivani broj decaka i devojcica je jednak. Ali ocekivani PROCENAT devojcica nije 50% - sad cu ispod ispisati tabelu u kojoj figurisu procenti devojcica:

 

 

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                                 0                                        M
    1/4                                  1/2                                   ZM
    1/8                                  2/3                                   ZZM
    1/16                                3/4                                   ZZZM
    ...                                       ...                                    ...                                     ...

 

 

 

 

 

 

Quote

Dakle ocekivani/prosecni brojevi devojcica i decaka su jednaki. Medjutim ocekivani PROCENAT devojcica je:


verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                               0                                    M
    1/4                             1/2                                 ZM
    1/4                              1                                    ZZ

 

1/2 * 0 + 1/4 * 1/2 + 1/4 * 1 = 3/8 = 37.5%    

 

 

Ajd probacu jos jednom da objasnim sta mi nije jasno zasto tako racunate.

 

"ocekivani broj decaka i devojcica je jednak. Ali ocekivani PROCENAT devojcica nije 50%"

 

U prvoj tabeli fali cela jedna polovina porodica, zasto je izostavljena procenat onih koji ocekuju devojcice, potogovo ako je pitanje ocekivane devojcica, a onda se u racunu stavi neocekivane devojcice?

Druga tabela, familije se zaustavljaju na decaku, pa zar iza poslednjeg ZZ ne treba da stoji M?

 

Trece, na kraju se dodje da je odnos 50:50 priblizno, a onda ovo:

 

Quote

E sad ovo uvodi jos jednu dodatnu, trecu, beskonacnost koja ima malo opravdanja u kontekstu problema - ona pusta da broj stanovnika tj. parova tezi ka beskonacnosti, a u postavci problema uzimamo fiksiranu drzavu, sa fiksiranim brojem stanovnika. No, to je svakako tacno, kada broj stanovnika tezi beskonacnosti tada procenat devocica tezu 50%, i to prilicno brzo. Recimo, kada se izracuna, ocekivani procenat za zemlju otprilike velicine SAD, koja ima oko 100 miliona porodica je 49,999999975%.

 

 

Zadatak kaze:

 

Quote

Postoji zemlja u kojoj svi roditelji mnogo vise zele da imaju musko nego zensko dete, pa takva preferencija dominira reproduktivnim ponasanjem ljudi na sledeci nacin: svaka porodica radja decu dok ne dobije decaka, i cim dobije decaka "zatvara fabriku", ne radja vise dece. Koji je ocekivani procenat devojcica u ukupnom broju dece tom drustvu?


Pojasnjenje: "ocekivani" ovde znaci u smislu "statistickog ocekivanja" odnosno proseka - ako bismo imali ogroman broj takvih drzava, koji bi bio PROSECNI udeo devojcica u ukupnom broju dece u takvim zemljama.

 

 

 

"ogromni broj takvih drzava" s tim da se radi o drzavama, ne o zgradama sa par porodica?

 

Krecem od pretpostavke da je svaka informacija bitna, pa ne mogu racunati ako drzava ima 100 familija (sto realno ni jedna nema, cak i Monako ima preko deset hiljada familija). 

 

Dok sam jos na pocetku napomenula da moze da se racuna ako se ne uzima u obzir vek reprodukcije... 

Link to post
Share on other sites
42 minutes ago, Baby said:

 

Ajd probacu jos jednom da objasnim sta mi nije jasno zasto tako racunate.

 

"ocekivani broj decaka i devojcica je jednak. Ali ocekivani PROCENAT devojcica nije 50%"

 

 

Ako na kraju simulacije imaš ukupno B dečaka i G devojčica, a ukupno dakle B+G dece, i ako je B=G (broj de;aka i devoj;ica je jednak), a ako je procenat devojčica, udeo u ukupnom broju dece jednak G/(B+G) onda je valjda taj procenat, udeo jednak G/(G+G) = 0.5?

 

42 minutes ago, Baby said:

U prvoj tabeli fali cela jedna polovina porodica, zasto je izostavljena procenat onih koji ocekuju devojcice, potogovo ako je pitanje ocekivane devojcica, a onda se u racunu stavi neocekivane devojcice?

Druga tabela, familije se zaustavljaju na decaku, pa zar iza poslednjeg ZZ ne treba da stoji M?

 

Trece, na kraju se dodje da je odnos 50:50 priblizno, a onda ovo:

 

 

Zadatak kaze:

 

 

 

"ogromni broj takvih drzava" s tim da se radi o drzavama, ne o zgradama sa par porodica?

 

Krecem od pretpostavke da je svaka informacija bitna, pa ne mogu racunati ako drzava ima 100 familija (sto realno ni jedna nema, cak i Monako ima preko deset hiljada familija). 

 

Dok sam jos na pocetku napomenula da moze da se racuna ako se ne uzima u obzir vek reprodukcije... 

 

@bohumilo hajde mi pomozi - imam utisak da je suštisnki jako jednostavan problem kada se rešava preko nizova, ali možda grešim?

Link to post
Share on other sites
4 minutes ago, freethrow said:

 

Ako na kraju simulacije imaš ukupno B dečaka i G devojčica, a ukupno dakle B+G dece, i ako je B=G (broj de;aka i devoj;ica je jednak), a ako je procenat devojčica, udeo u ukupnom broju dece jednak G/(B+G) onda je valjda taj procenat, udeo jednak G/(G+G) = 0.5?

 

 

 

Savrseno jasno, hvala.

 

Ja samo pitam ovo:

 

Quote

Dakle ocekivani/prosecni brojevi devojcica i decaka su jednaki. Medjutim ocekivani PROCENAT devojcica je:


verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                               0                                    M

 

 

Zasto je procenat onda 0, i gde je druga polovina koja daje procenat 1 u racunici?

 

Ako se uzima u obzir ukupan broj, ne mozes racunati od polovine a da ne ukljucis drugu polovinu. Ili obrnuto, ako se iskljuci jedna polovina (u ovom slucaju Z), onda svi naredni razlomci kako je bohumilo postavio, moraju da iskljuce:

 

Quote

 1/4                              1                                    ZZ

 

Jer ispada da u prvom racunas polovinu "neocekivanih devojcica" a ne obrnuto. 

 

Da je tabela prva tabela napravljena tako da racuna "ocekivane devojcice" ( 1/2 1 Z) onda bi se dobio rezultat 66% ono sto si ti citirao onaj link.  

 

 

Problem jeste jako jednostavan, jer kaze da je ocekivani procenat devojcica jednak ocekivanom broju decaka, a posle toga mogu samo spekulacije da se izvode i ja bih bas volela da vidim oficijalno resenja googla i sta to oni traze ustvari. Problem je ovako postavljen kao problem gde je 2 + 2 = 3 (dva oca i dva sina). 

Link to post
Share on other sites

Pa "druga polovina", gde su dobili devojčicu je podeljena na još dva slučaja: kada su dobili dečaka (ZM) i kada su dobili još jednu devojčicu a onda taj slučaj na još dva, ZZM i kada su dobili još jednu devojčicu i tako dalje i tako dalje, i to je upravo taj beskonačni niz...

 

 

Link to post
Share on other sites

 

4 hours ago, Baby said:

 

Zasto ovde nedostaje?

 

Zasto STA ovde nedostaje?

 

4 hours ago, Baby said:

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice

    1/2                               1                                    Z

 

Ako je verovatnoca 1/2 da 100% bude Z...

 

2 hours ago, Baby said:

 

A propo onog gore sam rekla za tabelu stoji verovatnoca, procenat d i konfiguracija porodice, zasto u verovatnoci stoji da polovina porodice ima ocekivano 0 devojcica, sta je sa onom polovinom sto imaju ocekivano devojice? Jer rezultat se menja ako se doda i ta polovina. Zasto bi se ta polovina izostavila u proracunu?

Ta polovina nije izostavljena, ona se nalazi u preostalom delu tabele, zato sto ko iz prve dobije dobije decaka prestaje da pravi decu a ko iz prve dobije devojcicu (to je ta polovina o kojoj pricas) nastavlja da se razmnozava - to je postavka problema, ta 1/2 koja prvo dobije Z se u sledecoj iteraciji (sa verovatnocom od 1/2 (od 1/2 sa pocetka)) deli na ZM i ZZ, ZM prestaje da se deli a ZZ se dalje deli na ZZM i ZZZ i tako dalje.

 

 

 

2 hours ago, Baby said:

Druga tabela, familije se zaustavljaju na decaku, pa zar iza poslednjeg ZZ ne treba da stoji M?

U tom primeru se zaustavljaju i na devojcicama, jer si ti rekla da ljudi ne mogu da se razmnozavaju do beskonacnosti, pa sam ja uzeo primer kada svi prestaju da se razmnozavaju posle 2. deteta, da bih ti i na njemu pokazao da ni tu ocekivani procenat devocica nija 50% (nego 37.5%).

 

Nadalje, ne govorimo ni o kakvim "ocekivanim" i "neocekivanim" devojcicama, nego o matematickom pojmu "ocekivane vrednosti slucajne promenljive":

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

4 hours ago, Baby said:

 

Znas zasto sam to nasla, zato sto niko ni ne pokusava ustvari da resava problem, nego trazi odgovore na internetu. 

 

23 + 23 = 24    
     

 

Sta sa ovim resenjem nije uredu?

 

3 hours ago, Baby said:

 

Ne, to jeste resenje ali nije dobro iz razloga sto je 2 primarni broj i nema svoj primarni faktor. Eto to bi bio odgovor. Zadatak sam dala i znala da nema resenja, mozda naivno pomislila da ce neko pokusati da ga resava, da bi se naravno ispostavilo da google bolje zna... Na zalost mislim da nam ova igra nije bas nesto naklonjena

 

Da li ti uopste razumes sta je cilj zadatka koji si postavila, sta u njemu treba da se uradi, sta znaci da je nesto njegovo resenje, posto to nisi napisala, samo si napisala polurecenicu oblika "ako X a Y" (??? sta tada?) bez da si napisala npr. "dokazati da ovo vazi" ili "naci brojeve A, B, C,x,y,z takve da vazi" i slicno...

 

Cilj tog zadatka, kojeg si, kako kazes, videla na internetu, je da se dokaze da AKO neki brojevi zadovoljavaju datu jendacinu da ONDA oni MORAJU da imaju zajednicke delitelje, odnosno da se dokaze da jedino brojevi koji imaju zajednicke delitelje mogu biti resenja ove jednacine. A takvih resenja, suproto ovome sto si napisala a sto sam podebljao, ima beskonacno mnogo, evo jednog:

 

550^5 + 825^5 = 275^6

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

1 hour ago, freethrow said:

 

@bohumilo hajde mi pomozi - imam utisak da je suštisnki jako jednostavan problem kada se rešava preko nizova, ali možda grešim?

 

Ima jedna Ajnstajnova maksima "sve treba da bude objasnjeno najjednostavnije moguce, ali nikako jednostavnije od toga" 😀 Mislim da je moj primer sa jajima i palacinkama za dorucak negde ta granica ispod koje se ovo ne moze prostije objasniti - a cak je bila i racunarska simulacija procesa...

 

 

10 hours ago, djole said:

Nego mene zanima ono izvođenje za opšti slučaj, pre svega kako doći do onog binomnog koeficijenta 

 

( n+k-1 )

(    k-1   )

 

Ovo liči na kombinacije sa ponavljanjem ali nije. Ima li neki trik?

 

Ovo je dobro pitanje za ovu temu, sigurno postoje kombinacije, pokusacu ovo da raspisem i shvatim - kako izgledaju tabele i sta se tacno desava kada imamo 2,3,4... porodice u zemlji - kad budem imao malo vremena i prostora.

Edited by bohumilo
Link to post
Share on other sites
6 minutes ago, bohumilo said:

 

 

Zasto STA ovde nedostaje?

 

 

Ta polovina nije izostavljena, ona se nalazi u preostalom delu tabele, zato sto ko iz prve dobije dobije decaka prestaje da pravi decu a ko iz prve dobije devojcicu (to je ta polovina o kojoj pricas) nastavlja da se razmnozava - to je postavka problema, ta 1/2 koja prvo dobije Z se u sledecoj iteraciji (sa verovatnocom od 1/2 (od 1/2 sa pocetka)) deli na ZM i ZZ, ZM prestaje da se deli a ZZ se dalje deli na ZZM i ZZZ i tako dalje.

 

 

 

 

2

 

Nedostaje polovina ukupnog broja porodica koje su dobile dete drugog pola.

 

Ako ides pretpostavkom

 

Quote

Dakle ocekivani/prosecni brojevi devojcica i decaka su jednaki. Medjutim ocekivani PROCENAT devojcica je:


verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                               0                                    M

 
 

 

Gde je u racunici 1/2 Z na ukupan broj familija? Izostavljas cinjenicu da svi staju kod decaka, znaci familije sa decacima su 100% u krajnjem rezultatu. Svaka familija ima decaka na kraju. Znaci prva polazna polovina ima decaka, druga polazna polovina ima devojcicu prvu. E sada ne mozes krenuti da racunas od drugog kruga dece, nego od prvog kruga dece. Znaci pola jednih pola drugih a u ukupnom zbiru sve familije imaju decake, samo pola od njih devojcicu ili vise devojcica. 

 

Evo nasla sam neku raspravu na ovu temu i postavljac ima slicnu teoriju koju si ti izneo, a ima i dosta interesantnih odgovora, tipa, zavisi u kom momentu zaustavis racunanje i dosta toga jos... 

 

http://www.thebigquestions.com/2010/12/22/a-big-answer-2/

 

Zadatak je ustvari veoma jednostavan:

 

puzzler.gif

 

What fraction of the population is female, nigde nema ocekivan neocekivano, nego krajnji rezultat. Svi na kraju stignu na 50:50 ma kako god racunali. 

 

Link to post
Share on other sites
37 minutes ago, bohumilo said:

 

Ovo je dobro pitanje za ovu temu, sigurno postoje kombinacije, pokusacu ovo da raspisem i shvatim - kako izgledaju tabele i sta se tacno desava kada imamo 2,3,4... porodice u zemlji - kad budem imao malo vremena i prostora.

 

Za dva je poprilično lako, za tri kapiram relativno izdržljivo, za četiri se ne bih već upuštao u to :classic_biggrin: Zato me i zanima da li ima neka fora jer verujem da nije baš lako uočiti ovakav obrazac.

 

Wolfram mathematica je verujem super za ovakve stvari pa bi se mogli pokupiti neki koeficijenti ali kako nisam baš verziran nemam sada nešto vremena da se bavim time.

Edited by djole
Link to post
Share on other sites

@Baby Da probamo još jednom.

 

Kao prvo, ovo očekivano je pojam iz verovatnoće i ostavio je bohumilo link gde je objašnjeno šta to znači. Dakle, šta po verovatnoći očekujemo. Naravno da se to podrazumeva i pod pitanje What fraction of the population is female,  inače bi tačan odgovor mogao biti praktično bilo koji, pa i da kažem 0% jer eto svi stalno dobijaju prvo dečaka.

 

Oko ovoga što kažeš da fali... hajde da formulišemo još jednom koje su moguće konfiguracije dece u porodici: 

 

M, ZM, ZZM, ZZZM, ZZZZM, ...

 

Dakle, u pravu si, mora se završiti sa muškim detetom, upravo tako je postavljen zadatak. Nema tu nikakvih prvih, drugih krugova i šta ti ja znam.

 

Jasno je da ovakva postavka nema veze baš sa stvarnim životom, jer u stvarnom životu ne mogu ljudi dobijati 100 dece ali tako je postavljen zadatak.

 

 

 

 

  • Like 1
Link to post
Share on other sites
19 minutes ago, djole said:

@Baby Da probamo još jednom.

 

Kao prvo, ovo očekivano je pojam iz verovatnoće i ostavio je bohumilo link gde je objašnjeno šta to znači. Dakle, šta po verovatnoći očekujemo. Naravno da se to podrazumeva i pod pitanje What fraction of the population is female,  inače bi tačan odgovor mogao biti praktično bilo koji, pa i da kažem 0% jer eto svi stalno dobijaju prvo dečaka.

 

Oko ovoga što kažeš da fali... hajde da formulišemo još jednom koje su moguće konfiguracije dece u porodici: 

 

M, ZM, ZZM, ZZZM, ZZZZM, ...

 

Dakle, u pravu si, mora se završiti sa muškim detetom, upravo tako je postavljen zadatak. Nema tu nikakvih prvih, drugih krugova i šta ti ja znam.

 

Jasno je da ovakva postavka nema veze baš sa stvarnim životom, jer u stvarnom životu ne mogu ljudi dobijati 100 dece ali tako je postavljen zadatak.

 

 

 

 

 

Ok, ovo je vec jasnije ako je ocekivano ali krajnji rezultat nije isti jer je izostavljen deo porodica koji su vec dobili u prvom krugu devojcice, tj ona 1/2 od ukupnog tj. 50%, jer niz se ustvari nize na devojcice Z ZM ZZM ZZZM... to me je i zbunjivalo. 

 

Ovo sto sam nasla kao googlov zadatak prosto pita za krajnji rezultat. Mislim, sto vise ljudi ucestvuje u problemu (mislim na internet) problem dobija nove verzije. 

Link to post
Share on other sites

Nasla sam meni logicki prihvatljivo objasnjenje na nacin na koji je bohumilo radio proracun:

 

Quote

Steve is pretty clearly forgetting to weight the families which have more children by the number of children in those larger families. This can be seen in his formula:

(1/2)*0 + (1/4)*(1/2) + (1/8)*(2/3) + …..

This is exactly correct if the question is “In a randomly chosen family, what fraction of the children do I expect to be girls?” Then 1/2 of the families have 0% girls (they had a boy first) – 1/4 of the families have 50% Girls (they had a girl then a boy), 1/8 of the families have 2/3 girls (they had GGB) etc.

However, If we want to calculate the average percentage of girls in the population – we want to instead calculate the number of girls in each family (assuming they have completed their reproduction and have as many boys as possible). Another way to think about this – is that if we are randomly drawing a person from the country, rather than a family from the country, we are much more likely to draw a girl from a family that has many girls (because it also has many more children). We obtain the number of girls in each family as:

0*(1/2) + (1)*(1/4) + (2)*(1/8) + (3)*(1/16) + (4)*(1/32)

That is to say, 1/2 of the families have 0 girls, 1/4 of the families have 1 girl, 1/8 of the families have 2 girls, 1/16 of the families have 3 girls, 1/32 of families have 4 girls. So the expected number of girls in each family unit is:

0 + 1/4 + 1/4 + 3/16 + 4/32 + 5/64 + 6/128 + 7/256 + 8/512 + ….. = 1

And the expectation for “1 boy in each family” is trivial.

A final way to view this problem is to say – most families will have more boys than girls – but no family will have “more boys than girls + 1″, there will never be many more boys than girls. However, there will be a few families which have many more girls than boys – and this counteracts the many families which have only one boy. The ratio is maintained at 50/50

 

3

 

E da da dodam, po ovom sajtu zadatak glasi ovako:

 

 

Quote

 

In a country in which people only want boys…

…every family continues to have children until they have a boy. If they have a girl, they have another child. If they have a boy, they stop. What is the proportion of boys to girls in the country?

 

 

 

 

 

 

Edited by Baby
Link to post
Share on other sites
3 hours ago, djole said:

 

Za dva je poprilično lako, za tri kapiram relativno izdržljivo, za četiri se ne bih već upuštao u to :classic_biggrin: Zato me i zanima da li ima neka fora jer verujem da nije baš lako uočiti ovakav obrazac.

 

Wolfram mathematica je verujem super za ovakve stvari pa bi se mogli pokupiti neki koeficijenti ali kako nisam baš verziran nemam sada nešto vremena da se bavim time.

 

Ne vredi, ne da djavo.

Morao sam da ckiljim nad sveskom i lampom dok ovo ne rascivijam.

 

Dakle, govorimo o formuli koju je dao Daougla Zare na ovoj stranici:

https://mathoverflow.net/questions/17960/google-question-in-a-country-in-which-people-only-want-boys

 


Kratak odgovor:

 ( n+k-1 )
 (  k-1 )

dolazi iz broja nacina na koji n moze da se zapise kao zbir k brojeva koji mogu biti od 0 do n. Znaci:

0+0+0+...+0+0+0+n=n,       ----k sabiraka
0+0+0+...+0+0+1+(n-1)=n,       ----k sabiraka
...

1+1+1+1+...+1+1+1+(n-k+1)=n,       ----k sabiraka
...
(n-1)+1+0+...+0+0+0=n,       ----k sabiraka


Ovih mmogucih zbirova ima tacno
( n+k-1 )
 (  k-1 )

 

Eh sada, odakle ovi zbirovi dolaze?


Pogledajmo najlaksi slucaj, za k=2 (posto smo slucaj k=1 apsolvirali na prethodnim stranicama), tj, za slucaj kada u drzavi imamo 2 porodice (k je broj porodica u drzavi, da naglasimo).

 

Sada za svaku porodicu ponaosob imamo nasu poznatu tabelu:

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                                 0                                        M
    1/4                                  1/2                                   ZM
    1/8                                  2/3                                   ZZM
    1/16                                3/4                                   ZZZM
    ...                                       ...                                    ...       

 


a to znaci da u novoj tabeli konfiguracija porodica za celo drustvo moramo imati sve moguce kombinacije konfiguracija iz dve porodice, znaci nova tabela izgleda ovako:

 

verovatnoca            procenat devojcica    konfiguracijE porodicA (I porodica + II porodica)
    1/2*1/2                                      0                                     M+M
    1/4*1/2+1/2*1/4                 1/3                           ZM+M ili M+ZM
    1/4*1/4                                     2/4                           ZM+ZM  
    1/4*1/8*2 + 1/16*1/2*2     3/5                 ZM+ZZM ili ZZM+ZM ili M+ZZZM ili ZZZM+M
    ...                        ...                  ...    

 

Dakle, za slucaj kada smo imali samo jednu porodicu procenti devojcicu su mogli biti samo n/(n+1) - npr: 0/1, 1/2, 2/3, 3/4, jer je broj devojcica uvek (u svim mogucim konfiguracijama drzave, tj. porodice) bio tacno za 1 manji od broja dece u drzavi - odatle to kao cinilac u onoj formuli na Mathoverflow sajtu. Sad, medjutim, broj devojcica u svakoj konfiguraciji decje populacije mora biti tacno za 2 manji od ukupnog broja dece u drzavi (jer u svakoj porodici ima tacno po jedan decak), zato su svi moguci procenti devojcica jednaki n/(n+2) - 0/2, 1/3, 2/4, 3/5, 4/6 itd.


Mi, npr, ovaj procenat 3/5, 3 devojcice od 5 dece u drzavi mozemo da dobijemo kroz 4 razlicite konfiguracije pojedinacnih porodica, tj. broj 3 mozemo da dobijemo na 4 razlicita nacina kao zbir 2 broja od 0 do 3:

 

0+3, (ovo je slucaj M+ZZZM - prv porodica dobila odmah decaka, druga 3 devojcice pa decaka)
1+2, (ZM+ZZM)
2+1, (ZZM+ZM)
3+0  (ZZZM+M)

 

Ovo je takodje jednako n+k-1 nad k-1, medjutim kada je k=2 ovo je jednako n+1, pa su za k=2 oni to upisali u formulu.


Slicno za 4/6, 7/5, 8/6...

(A onaj delilac 2^(n+2) dobijamo odatle sto uvek mnozimo dva delioca iz slucaja kada ima samo jedna porodica, gde je delilac 2^(n+1))

_______________________________________________________________________________________________________________


A nadalje, slucajevi za vece k-ove su bukvalno isti: moguci procenti devojcica su n/(n+k) - broj devojcica je uvek tacno za k manji broja dece (odatle ovaj razlomak u formuli), jer u svakoj porodici ima tacno 1 decak, a taj odnos - n devojcica u populaciji od n+k dece - je moguce dobiti na one nacine koje sam napisao na pocetku:


0+0+0+...+0+n =n    --- ovo odgovara slucaju M+M+M+M+...+M+ZZZZ...ZZM (prvih k-1 porodica odmah dobilo decake, poslednja dobila n devojcica pa decaka)
0+0+0+...+1+(n-1)=n   --- konfiguracija M+M+M+...M+ZM+ZZZ...ZZM

...
sve do
...

n+0+0+...+0+0=n  - -- konfiguracija ZZZZ...ZZM+M+M+M+M

 

Ovih nacina ima n+k-1 NAD k-1 (tj. jednak je broju nacina na koji se iz cupa sa n+k-1 kuglicom moze izvuci k-1 kuglica - zasto je ovo tako mozemo drugom prilikom, razlog je vrlo interesantan).

 

Delilac 2^(n+k) dobijamo odatle sto uvek mnozimo k delioca iz slucaja kada ima samo jedna porodica.

Edited by bohumilo
  • Like 2
Link to post
Share on other sites

@bohumilo

 

Pošto si rešio da me uskratiš odgovora na suštinsko pitanje, morao sam malo sam da se potrudim 😛

 

Prvo sam raspisao malo za tri porodice čisto da razjasnim sebi dodatno ovo što si ti pisao ali nema potrebe to sad da postavljam. 

 

 

Elem, ako još nekome nije jasno zašto ovo

 

Quote

Kratak odgovor:

 ( n+k-1 )
 (  k-1 )

dolazi iz broja nacina na koji n moze da se zapise kao zbir k brojeva koji mogu biti od 0 do n

 

kao što meni nije bilo jasno u početku, evo malog pojašnjenja koje će možda pomoći.

 

Već rečeno, n je broj devojčica, dok je k broj dečaka odnosno broj porodica jer svaka porodica mora imati tačno jednog dečaka.

 

Kako svaka porodica mora imati tačno jednog dečaka, onda se problem svodi na sledeće: na koliko načina možemo rasporediti n devojčica u k porodica, pri čemu nema nikakvih ograničenja, odnosno neka porodica može nemati nijednu devojčicu ili u jednu porodicu možemo staviti svih n devojčica. A ovo je zapravo ono što si ti napisao kao broj načina na koji n moze da se zapise kao zbir k brojeva koji mogu biti od 0 do n, odnosno koliko ima različitih vektora x = [x1 x2 ... xk] tako da:

 

x1 + x2 + ... + xk = n, gde xi može biti od 0 do n, za i ide od 0 do k

 

xi je broj devojčica u i-toj porodici

 

Ovo se zapravo često formuliše kao balls and bins problem: na koliko načina možemo raspodeliti n loptica u k korpi, pri čemu neke korpe mogu biti prazne, što se može pojasniti pomoću stars and bars (teorema 2).

 

Edited by djole
  • Like 1
Link to post
Share on other sites

Izvinite, ali imam utisak da komplikujete zadatak uključivanjem broja porodica. svaka porodica je nezavisna od ostalih i svaka ima određeno, identično, matematičko očekivanje broja devojčica - ono što smo izračunali prethodno, preko sume konvergentnog reda. Na N porodica, očekivani broj devojčica će biti jednak N*E, a dečaka će biti tačno N, po definiciji problema.

 

Link to post
Share on other sites

Ali ne traži se očekivan broj devojčica ili da li je očekivan broj devojčica jednak očekivanom broju dečaka, već očekivan udeo devojčica u ukupnom broju dece. Videli smo da to što je isti očekivan broj dečaka i devojčica ne znači da je očekivani udeo 50:50, iako sa većim brojem porodica ide ka tome i zapravo tek sa beskonačno mnogo porodica jeste 50:50.

 

E[Z/(Z+M)] ~= E[Z]/E[Z+M]

 

 

 

 

  • Like 1
Link to post
Share on other sites
14 hours ago, bohumilo said:

 

Ne vredi, ne da djavo.

Morao sam da ckiljim nad sveskom i lampom dok ovo ne rascivijam.

 

Dakle, govorimo o formuli koju je dao Daougla Zare na ovoj stranici:

https://mathoverflow.net/questions/17960/google-question-in-a-country-in-which-people-only-want-boys

 


Kratak odgovor:

 ( n+k-1 )
 (  k-1 )

dolazi iz broja nacina na koji n moze da se zapise kao zbir k brojeva koji mogu biti od 0 do n. Znaci:

0+0+0+...+0+0+0+n=n,       ----k sabiraka
0+0+0+...+0+0+1+(n-1)=n,       ----k sabiraka
...

1+1+1+1+...+1+1+1+(n-k+1)=n,       ----k sabiraka
...
(n-1)+1+0+...+0+0+0=n,       ----k sabiraka


Ovih mmogucih zbirova ima tacno
( n+k-1 )
 (  k-1 )

 

Eh sada, odakle ovi zbirovi dolaze?


Pogledajmo najlaksi slucaj, za k=2 (posto smo slucaj k=1 apsolvirali na prethodnim stranicama), tj, za slucaj kada u drzavi imamo 2 porodice (k je broj porodica u drzavi, da naglasimo).

 

Sada za svaku porodicu ponaosob imamo nasu poznatu tabelu:

verovatnoca    PROCENAT devojcica    konfiguracija porodice
    1/2                                 0                                        M
    1/4                                  1/2                                   ZM
    1/8                                  2/3                                   ZZM
    1/16                                3/4                                   ZZZM
    ...                                       ...                                    ...       

 


a to znaci da u novoj tabeli konfiguracija porodica za celo drustvo moramo imati sve moguce kombinacije konfiguracija iz dve porodice, znaci nova tabela izgleda ovako:

 

verovatnoca            procenat devojcica    konfiguracijE porodicA (I porodica + II porodica)
    1/2*1/2                                      0                                     M+M
    1/4*1/2+1/2*1/4                 1/3                           ZM+M ili M+ZM
    1/4*1/4                                     2/4                           ZM+ZM  
    1/4*1/8*2 + 1/16*1/2*2     3/5                 ZM+ZZM ili ZZM+ZM ili M+ZZZM ili ZZZM+M
    ...                        ...                  ...    

 

Dakle, za slucaj kada smo imali samo jednu porodicu procenti devojcicu su mogli biti samo n/(n+1) - npr: 0/1, 1/2, 2/3, 3/4, jer je broj devojcica uvek (u svim mogucim konfiguracijama drzave, tj. porodice) bio tacno za 1 manji od broja dece u drzavi - odatle to kao cinilac u onoj formuli na Mathoverflow sajtu. Sad, medjutim, broj devojcica u svakoj konfiguraciji decje populacije mora biti tacno za 2 manji od ukupnog broja dece u drzavi (jer u svakoj porodici ima tacno po jedan decak), zato su svi moguci procenti devojcica jednaki n/(n+2) - 0/2, 1/3, 2/4, 3/5, 4/6 itd.


Mi, npr, ovaj procenat 3/5, 3 devojcice od 5 dece u drzavi mozemo da dobijemo kroz 4 razlicite konfiguracije pojedinacnih porodica, tj. broj 3 mozemo da dobijemo na 4 razlicita nacina kao zbir 2 broja od 0 do 3:

 

0+3, (ovo je slucaj M+ZZZM - prv porodica dobila odmah decaka, druga 3 devojcice pa decaka)
1+2, (ZM+ZZM)
2+1, (ZZM+ZM)
3+0  (ZZZM+M)

 

Ovo je takodje jednako n+k-1 nad k-1, medjutim kada je k=2 ovo je jednako n+1, pa su za k=2 oni to upisali u formulu.


Slicno za 4/6, 7/5, 8/6...

(A onaj delilac 2^(n+2) dobijamo odatle sto uvek mnozimo dva delioca iz slucaja kada ima samo jedna porodica, gde je delilac 2^(n+1))

_______________________________________________________________________________________________________________


A nadalje, slucajevi za vece k-ove su bukvalno isti: moguci procenti devojcica su n/(n+k) - broj devojcica je uvek tacno za k manji broja dece (odatle ovaj razlomak u formuli), jer u svakoj porodici ima tacno 1 decak, a taj odnos - n devojcica u populaciji od n+k dece - je moguce dobiti na one nacine koje sam napisao na pocetku:


0+0+0+...+0+n =n    --- ovo odgovara slucaju M+M+M+M+...+M+ZZZZ...ZZM (prvih k-1 porodica odmah dobilo decake, poslednja dobila n devojcica pa decaka)
0+0+0+...+1+(n-1)=n   --- konfiguracija M+M+M+...M+ZM+ZZZ...ZZM

...
sve do
...

n+0+0+...+0+0=n  - -- konfiguracija ZZZZ...ZZM+M+M+M+M

 

Ovih nacina ima n+k-1 NAD k-1 (tj. jednak je broju nacina na koji se iz cupa sa n+k-1 kuglicom moze izvuci k-1 kuglica - zasto je ovo tako mozemo drugom prilikom, razlog je vrlo interesantan).

 

Delilac 2^(n+k) dobijamo odatle sto uvek mnozimo k delioca iz slucaja kada ima samo jedna porodica.

 

 

Joooj, Joooj, joooj, a-joooj.

Kako sve ovo pada u vodu kada je u Kini % dečaka 103 naspram devojčica. U Indiji još grđe,  u nekim državama Indije 112% muške dece? (Izvor, po sećanju, The Economist)

 

Kako? Portabilni skeneri, koje "doktori" voze u bisagama bicikala po slamovima i megafonom najavljuju svoje prisustvo, za 10 dolara odrede pol deteta. Pa roditelji na osnovu toga, abortiraju žensko dete.

 

Ček da sada uzmemo neku nauku u obzir.

Link to post
Share on other sites

@freethrow

 

Nađoh sad malo vremena pa sam uzeo nešto da proverim. Bio mi je čudan juče onaj grafik koji si postavio jer previše osciluje a i nije počeo negde u okolini 0.3. Onda sam shvatio da si ti pokrenuo samo jednu simulaciju za različiti broj porodica. Ono što nas interesuje je veliki broj simulacija (ja sam uzeo 1000) za svaki od broja porodica (1000 simulacija za slučaj s jednom porodicom, 1000 sa 2, itd.) pa onda prosečna vrednost udela za svaki taj slučaj. Evo moje simulacije, kod je pisan u matlabu, tu sam brži jbg.

 

Spoiler

clear all, clc

% decak - 1, devojcica - 2

r = 0;
n = 1000; %broj simulacija
k = [1:10 20:10:100 200:100:1000]; %vektor broja porodica
ratio = zeros(1,n);
boys = zeros(1,n);
girls = zeros(1,n);

for i = 1:length(k)
    for p = 1:n
        for j = 1:k(i) %simulacija za svaku porodicu
            while 1
                r = randi([1,2], 1);
                if r == 1
                    boys(p) = boys(p) + 1;
                    break
                else
                    girls(p) = girls(p) + 1;
                end
            end
        end
        ratio(p) = girls(p)/(boys(p) + girls(p)); %odnos u p-toj simulaciji
    end
    avg_ratio(i) = mean(ratio); %prosecan odnos nakon n simulacija sa k(i) brojem porodica
    boys = zeros(1,n);
    girls = zeros(1,n); 
end


semilogx(k,avg_ratio, '-kx')
hold on
plot([1 1000], [0.5 0.5], 'r')
xlabel('broj porodica')
ylabel('udeo devojcica')

 

2ijp8d0.jpg

Edited by djole
  • Like 3
Link to post
Share on other sites

Za koje zemlje? Indija i Kina su skoro pola čovečanstva, šta imaš za njih? Ako tako znaš, daj nam i taj graf, za koji mislim da je nepotreban, polovina čovečanstva hoće mušku decu i ne trebaju im tvoji grafovi. Treba im cheap scanner i abortus ženske dece.

Link to post
Share on other sites
26 minutes ago, Yoyogi said:

Za koje zemlje? Indija i Kina su skoro pola čovečanstva, šta imaš za njih? Ako tako znaš, daj nam i taj graf, za koji mislim da je nepotreban, polovina čovečanstva hoće mušku decu i ne trebaju im tvoji grafovi. Treba im cheap scanner i abortus ženske dece.

 

Jbt. Nije valjda da nisi skontao da se radi o hipotetickom matematickom problemu, a ne o nekoj stvarnoj drzavi?

Link to post
Share on other sites
1 hour ago, djole said:

@freethrow

 

Nađoh sad malo vremena pa sam uzeo nešto da proverim. Bio mi je čudan juče onaj grafik koji si postavio jer previše osciluje a i nije počeo negde u okolini 0.3. Onda sam shvatio da si ti pokrenuo samo jednu simulaciju za različiti broj porodica. Ono što nas interesuje je veliki broj simulacija (ja sam uzeo 1000) za svaki od broja porodica (1000 simulacija za slučaj s jednom porodicom, 1000 sa 2, itd.) pa onda prosečna vrednost udela za svaki taj slučaj. Evo moje simulacije, kod je pisan u matlabu, tu sam brži jbg.

 

  Reveal hidden contents

clear all, clc

% decak - 1, devojcica - 2

r = 0;
n = 1000; %broj simulacija
k = [1:10 20:10:100 200:100:1000]; %vektor broja porodica
ratio = zeros(1,n);
boys = zeros(1,n);
girls = zeros(1,n);

for i = 1:length(k)
    for p = 1:n
        for j = 1:k(i) %simulacija za svaku porodicu
            while 1
                r = randi([1,2], 1);
                if r == 1
                    boys(p) = boys(p) + 1;
                    break
                else
                    girls(p) = girls(p) + 1;
                end
            end
        end
        ratio(p) = girls(p)/(boys(p) + girls(p)); %odnos u p-toj simulaciji
    end
    avg_ratio(i) = mean(ratio); %prosecan odnos nakon n simulacija sa k(i) brojem porodica
    boys = zeros(1,n);
    girls = zeros(1,n); 
end


semilogx(k,avg_ratio, '-kx')
hold on
plot([1 1000], [0.5 0.5], 'r')
xlabel('broj porodica')
ylabel('udeo devojcica')

 

2ijp8d0.jpg

 

I da se vrnemo na pre dvadeset postova, ne postoji drzava sa jednom porodicom, pogotovo ne veliki broj drzava ne moze da podrzi teoriju 1 porodice (zbog cega sam ja eliminisala uopste takav nacin razmisljanja, inace bi pitanje bilo o necem drugom), rezultat ce biti ono sto sam ja dobila na mnogo jednostavniji nacin racunanja tj devojica negde priblizno 50%, sto mora da se zaokruzi i na kraju bude 1/2. E sada ako je google trazio da se ispise formula sto ja nisam uradila, onda nisam bila u pravu. Tvoj grafikon potrkrepljuje sve moje racunice. 

 

 

  • Like 1
Link to post
Share on other sites

Je l vi trolujete ili se zezate? Ovo je matematički problem, apstraktan. Ne uzima u obzir neplodne parove, blizance, mrtvorođene i nestale bebe. 

 

@djole Bravo za Matlab, vratio si me 20 godina unazad!

 

Da, ima smisla to što radiš za više porodica i ima smisla da ti isto konvergira. Suština je da je u pitanju jedna raspodela - beskonačni red je u potpunosti definiše i zavisi, pri datim pravilima igre, samo od verovatnoće da će se roditi devojčica. Probaj da simuliraš za 20% ili 75% i uvek će konvergirati.

Link to post
Share on other sites
2 hours ago, Yoyogi said:

 

Pa stvarne države su "foot on the ground".

 

Brate ovaj matematicki problem ne ukljucuje 'real life china & india abortus rate'.

Kapiras, odluka se donosi nakon rodjenja I uvek je ista. 

Fikcija brte...

 

 

  • Like 1
Link to post
Share on other sites
54 minutes ago, Kido from Junkovac said:

 

Brate ovaj matematicki problem ne ukljucuje 'real life china & india abortus rate'.

Kapiras, odluka se donosi nakon rodjenja I uvek je ista. 

Fikcija brte...

 

 

 

Samo jedan matematicki problem koji daje vazne detalje potrebne za resavanje problema.

 

Inace, nasla sam da google ustvari uopste ne postavlja ovakve brain teaser zadatke iz vise razloga, a jedan je zakonski, drugi je gubljenje vremena. Mogu samo da postave logicka pitanja da vide kako kandidat resava probleme, a ne zadatke za doktore matematike kako bi obavljali marketinski posao. Ali nema veze, igrali smo se, to je cilj zar ne?

Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Restore formatting

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

×
×
  • Create New...